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Il paradosso di Russell 

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Traduzione di Filippo Pelucchi.

Revisione di Germana Pareti, pagina di Harry Deutsch.

Versione: Inverno 2020.

The following is the translation of Harry Deutsch’s entry on “Russell’s Paradox” in the Stanford Encyclopedia of Philosophy.  The translation follows the version of the entry in the SEP’s archives at https://plato.stanford.edu/archives/win2020/entries/russell-paradox/ . This translated version may differ from the current version of the entry, which may have been updated since the time of this translation. The current version is located at <https://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox>. We’d like to thank the Editors of the Stanford Encyclopedia of Philosophy for granting permission to translate and to publish this entry on the web.

Il paradosso di Russell è il più famoso dei paradossi logici o delle teorie degli insiemi. Conosciuto anche come il paradosso di Russell-Zermelo, il paradosso sorge all’interno della teoria ingenua degli insiemi considerando l’insieme di tutti gli insiemi che non sono membri di sé stessi. Un tale insieme sembra essere un membro di sé stesso se e solo se non è un membro di sé stesso. Da qui il paradosso.

Alcuni insiemi, come gli insiemi di tutte le non-tazze da tè, sono membri di sé stessi. Altri insiemi, come l’insieme di tutte le tazze da tè, sono membri di se stessi. Chiamiamo l’insieme di tutti gli insiemi che non sono membri di sé stessi “R”. Se R è un membro di sé stesso, quindi per definizione non deve essere un membro di sé stesso. Allo stesso modo, se R non è un membro di sé stesso, quindi per definizione deve essere un membro di sé stesso.

Sebbene sia stata notata anche da Ernst Zermelo, la contraddizione non fu ritenuta importante fino a quando non fu scoperta da Bertrand Russell stesso, nella primavera del 1901. Da allora, il paradosso ha richiesto molto lavoro da parte della logica, della teoria degli insiemi, della filosofia e dei fondamenti della matematica.

 

1. Il Paradosso

Al centro di ogni teoria degli insiemi c’è un’affermazione sulle condizioni in cui si formano gli insiemi. Oltre a elencare semplicemente i membri di un insieme, inizialmente si presumeva che qualsiasi condizione ben definita (o una proprietà specificata con precisione) potesse essere utilizzata per determinare un insieme. Ad esempio, se T è la proprietà di essere una tazza da tè, allora l’insieme, S, di tutte le tazze potrebbe essere definito come S= {x: T(x)}, l’insieme di tutti gli individui, x, tale che x ha la proprietà di essere T. Anche una proprietà contraddittoria si potrebbe usare per determinare un insieme. Ad esempio, la proprietà di essere sia T che Non-T determinerebbe l’insieme vuoto, l’insieme che non contiene alcun membro.

Più precisamente, una teoria degli insiemi ingenua assume il cosiddetto “assioma di comprensione” ingenuo o non ristretto, l’assioma per cui per ogni formula ϕ(x) che contiene x come una variabile libera, esisterà l’insieme {x: ϕ(x)}, i cui membri sono esattamente quegli oggetti che soddisfano ϕ(x). Perciò, se la formula ϕ(x) sta per “x è un numero primo”, allora {x: ϕ(x)} sarà l’insieme dei numeri primi. Se ϕ(x) sta per “∼(x=x)”, allora {x: ϕ(x)} sarà un insieme vuoto.

Ma dall’assunzione di questo assioma segue la contraddizione del paradosso di Russell. Ad esempio, se facciamo sì che ϕ(x) stia per x ∈ x ed R= {x: ∼ϕ(x)}, allora R è l’insieme i cui membri sono esattamente quegli oggetti che non sono membri di sé stessi.

R è un membro di sé stesso? Se lo è, allora deve soddisfare la condizione di non essere un membro di sé stesso, e quindi non lo è. Se non lo è, allora non deve soddisfare la condizione di non essere un membro di sé stesso, e quindi deve essere un membro di sé stesso. Poiché per logica classica un caso o l’altro deve valere – o R è un membro di sé stesso, o non lo è – ne consegue che la teoria implica una contraddizione.

Come ci dice Russell, fu dopo aver applicato lo stesso tipo di ragionamento trovato nell’argomento diagonale di Cantor a una “presunta classe di tutti gli oggetti immaginabili” che egli giunse ad una contraddizione:

La classe complessiva che stiamo considerando, che deve comprendere tutto, deve anche comprendere sé stessa come uno dei suoi membri. In altre parole, se esiste una qualcosa come “tutto”, allora “tutto” è qualcosa ed è un membro della classe “tutto”. Ma normalmente una classe non è membro di sé stessa. L’umanità, ad esempio, non è un uomo. Formiamo ora l’insieme di tutte le classi che non sono membri di sé stesse. Questa è una classe: è un membro di sé stessa o no? Se lo è, è una di quelle classi che non sono membri di sé stesse, cioè non è un membro di sé stessa. Se non lo è, non è una di quelle classi che non sono membri di sé stesse, quindi è un membro di sé stessa. Quindi delle due ipotesi – che sia, e che non sia, un membro di sé stesso – ciascuna implica la sua contraddittoria. Questa è una contraddizione. (1919, 136)

Le risposte standard al paradosso cercano di limitare in qualche modo le condizioni sotto le quali si formano gli insiemi. L’obiettivo è spesso quello di eliminare R (e simili insiemi contraddittori) e, allo stesso tempo, conservare tutti gli altri insiemi di cui si ha bisogno in matematica. Questa procedura è spesso eseguita rimpiazzando l’assioma di comprensione non ristretto con l’assioma di separazione, vale a dire l’assioma in base a cui dato qualunque insieme (inconsistente) S e qualunque formula ϕ(x) con x libero, esisterà un insieme {x ∈ S: ϕ(x)} i cui membri sono esattamente quei membri di S che soddisfano ϕ(x). Se ora facciamo sì che ϕ(x) stia per una formula x ∉ x, sembra che l’insieme corrispondente {x ∈ S: x ∉ x} non sarà contraddittorio, dal momento che contiene soltanto qui membri che si trovano in S che non sono membri di sé stessi. Perciò l’insieme non può includere sé stesso.

Una varietà di paradossi correlati è discussa nel secondo capitolo dell’Introduzione a Whitehead e Russell (1910, 2a ed. 60-65), così come nella voce sui paradossi e la logica contemporanea in questa enciclopedia.

2. Storia del paradosso

Russell sembra aver scoperto il suo paradosso nella tarda primavera del 1901, mentre lavorava ai Principles of Mathematics (1903). Non è chiaro quando sia avvenuta esattamente la scoperta. Russell disse di essersi inizialmente imbattuto nel paradosso “nel giugno del 1901” (1944, 13). Successivamente riferisce che la scoperta è avvenuta “nella primavera del 1901” (1959, 75). Ancora più tardi riferisce di essersi imbattuto nel paradosso, non a giugno, ma a maggio di quell’anno (1969, 221). Cesare Burali-Forti, assistente di Giuseppe Peano, aveva scoperto un’antinomia simile nel 1897, quando notò che, dato che l’insieme degli ordinali era ben ordinato, anche esso doveva avere un ordinale. Tuttavia, questo ordinale deve essere sia un elemento dell’insieme di tutti gli ordinali e tuttavia maggiore di ognuno di questi elementi.

A differenza del paradosso di Burali-Forti, il paradosso di Russell non coinvolge né ordinali né cardinali, basandosi invece solo sulle nozioni primitive di insieme e inclusione di insieme. Zermelo notò una contraddizione simile tra il 1897 e il 1902, forse anticipando Russell di alcuni anni (Ebbinghaus e Peckhaus 2007, 43-48; Tappenden 2013, 336), sebbene Kanamori concluda che la scoperta avrebbe potuto facilmente essere avvenuta nel tardo 1902 (Kanamori 2009, 411). Come sottolinea Linsky, l’argomento di Zermelo, sebbene simile a quello di Russell, si comprende più facilmente come appartenente ad un gruppo di argomenti di Zermelo, Schröder e Cantor, che “anticiparono” l’argomentazione matematica sviluppata da Russell, ma che si rivelò diverso dall’argomento di Russell in pochi ma rilevanti aspetti (Linsky 2013, 11). In ogni caso, si pensava che gli argomenti fossero di minore importanza fino a quando non ci si rese conto di quanto fossero dannosi per i fondamenti dell’aritmetica di Gottlob Frege.

Russell scrisse a Frege della novità del suo paradosso il 16 giugno 1902 (per la corrispondenza pertinente, vedere Russell (1902) e Frege (1902) in van Heijenoort (1967).) Il paradosso era importante per il lavoro logico di Frege dal momento che, in effetti, mostrava che gli assiomi che Frege stava usando per formalizzare la sua logica erano incoerenti. In particolare, l’assioma V di Frege richiede che un’espressione come ϕ(x) sia considerata sia una funzione dell’argomento x, sia una funzione dell’argomento ϕ. (Più precisamente, la legge di Frege afferma che il decorso di valore di un concetto f è identico al decorso di valore di un concetto g se e solo se f e g hanno lo stesso valore di ogni argomento, cioè, se e solo se per ogni oggetto x, f(x) = g(x). Vedere la sezione 2.4.1 della voce su Gottlob Frege in questa enciclopedia per ulteriori discussioni.) In effetti, è stata questa ambiguità che ha permesso a Russell di costruire R in modo che potesse essere e non essere allo stesso tempo un membro di sé stesso.

La lettera di Russell arrivò proprio mentre era in stampa il secondo volume dei Grundgesetze der Arithmetik di Frege (The Basic Laws of Arithmetic, 1893, 1903). Comprendendo immediatamente la difficoltà posta dal paradosso, Frege aggiunse ai Grundgesetze un’appendice composta di fretta che parlava della scoperta di Russell. Nell’appendice Frege osserva che le conseguenze del paradosso di Russell non sono immediatamente chiare. Ad esempio: “È sempre lecito parlare di estensione di un concetto, di una classe? E se non lo è, come si riconoscono i casi eccezionali? Possiamo sempre dedurre dall’estensione di un concetto, che coincide con quella di un secondo concetto, che ogni oggetto che rientra nel primo concetto rientra anche nel secondo? Queste sono le domande”, osserva Frege, “sollevate dalla comunicazione del signor Russell” (1903, 127). A causa di queste preoccupazioni, Frege alla fine si sentì costretto ad abbandonare molte delle sue opinioni sulla logica e la matematica.

Comunque, come sottolinea Russell, Frege accolse la notizia del paradosso con notevole forza d’animo:

Mentre penso agli atti di integrità e grazia, mi rendo conto che non c’è nulla nella mia conoscenza che si possa comparare alla dedizione di Frege per la verità. Il lavoro di tutta la sua vita era sull’orlo del compimento, gran parte del suo lavoro era stato ignorato a beneficio di uomini infinitamente meno capaci, il suo secondo volume stava per essere pubblicato e, dopo aver scoperto che la sua assunzione fondamentale era sbagliata, rispose con onestà intellettuale facendo sprofondare ogni sensazione di delusione personale. Era quasi sovrumano e un’indicazione eloquente di ciò di cui sono capaci gli uomini, se la loro dedizione è rivolta al lavoro creativo e alla conoscenza, invece che a sforzi più grossolani per regnare ed essere conosciuti. (Citato in van Heijenoort (1967), 127)

Naturalmente, anche Russell era preoccupato per le conseguenze della contraddizione. Dopo aver appreso che Frege era d’accordo con lui sul significato della conclusione, iniziò immediatamente a scrivere un’appendice per i suoi Principles of Mathematics, che sarebbero stati presto pubblicati. Intitolata “Appendice B: la dottrina dei tipi”, l’appendice rappresenta il primo tentativo di Russell di fornire un metodo basato sui principi per evitare quello che presto sarebbe diventato noto come “il paradosso di Russell”.

3. Prime risposte al paradosso

Il significato del paradosso di Russell si può intravedere una volta che si è capito che, usando la logica classica, tutti gli enunciati derivano da una contraddizione. Ad esempio, assumendo entrambi P e ∼P, qualsiasi proposizione arbitraria, Q, può essere dimostrato come segue: da P otteniamo P ∨ Q dalla regola dell’Addizione; poi da P ∨ Q e ∼P otteniamo Q dalla regola del sillogismo disgiuntivo. Poiché la teoria degli insiemi è alla base di tutti i rami della matematica, molte persone hanno cominciato a preoccuparsi che l’incoerenza della teoria degli insiemi avrebbe voluto dire che nessuna dimostrazione matematica poteva essere completamente affidabile. Solo eliminando il paradosso di Russell la matematica nel suo insieme avrebbe potuto ritrovare completamente la sua consistenza.

Il paradosso di Russell nasce in definitiva dall’idea che qualsiasi condizione o proprietà possa essere utilizzata per determinare un insieme. Ad esempio, la proprietà di essere uniformemente divisibile solo per sé stesso e per il numero uno distingue l’insieme dei numeri primi dall’insieme dei numeri interi. La proprietà di avere ghiandole mammarie distingue l’insieme dei mammiferi da rettili, uccelli e altri organismi viventi. La proprietà di essere sia un quadrato che non essere un quadrato (o qualsiasi altra congiunzione di proprietà contraddittorie) determina l’insieme vuoto e così via.

Uno dei primi scettici su un assioma di comprensione (o Astrazione) non ristretto fu il creatore della moderna teoria degli insiemi, Georg Cantor. Anche prima della scoperta di Russell, Cantor aveva rifiutato la l’assioma della comprensione non ristretta a favore di quella che era, in effetti, una distinzione tra insiemi e classi, riconoscendo che alcune proprietà (come la proprietà di essere un ordinale) producevano collezioni che erano semplicemente troppo grandi per essere insiemi, e che qualsiasi ipotesi contraria avrebbe portato all’incoerenza. (Si possono trovare dei dettagli in Moore (1982), Hallett (1984) e Menzel (1984).)

La risposta di Russell al paradosso è arrivata con la appropriatamente chiamata teoria dei tipi. Credendo che al centro del paradosso vi fosse l’auto-applicazione, l’idea di base di Russell era che possiamo evitare di impegnarci in R (l’insieme di tutti gli insiemi che non sono membri di sé stessi) disponendo tutti gli enunciati (o, più precisamente, tutte le funzioni proposizionali, ossia funzioni che hanno proposizioni come valori) in una gerarchia. È quindi possibile fare riferimento a tutti gli oggetti per i quali una data condizione (o predicato) vale solo se sono tutti allo stesso livello o dello stesso “tipo”.

Questa soluzione al paradosso di Russell è motivata in gran parte dall’adozione del cosiddetto principio del circolo vizioso. Il principio in effetti afferma che nessuna funzione proposizionale può essere definita prima di specificare l’ambito di applicazione della funzione. In altre parole, prima di poter definire una funzione, è necessario innanzitutto specificare esattamente quegli oggetti a cui verrà applicata la funzione (il dominio della funzione). Ad esempio, prima di definire il predicato “è un numero primo”, è necessario definire la raccolta di oggetti che potrebbero eventualmente soddisfare questo predicato, vale a dire l’insieme N dei numeri naturali.

Come spiegano Whitehead e Russell,

Un’analisi dei paradossi da evitare mostra che tutti derivano da una sorta di circolo vizioso. I circoli viziosi in questione derivano dal supporre che una collezione di oggetti possa contenere membri che possono essere definiti solo attraverso la collezione nel suo insieme. Così, per esempio, si suppone che la collezione di proposizioni debba contenere una proposizione che afferma che “tutte le proposizioni sono vere o false”. Sembrerebbe, tuttavia, che una tale affermazione non possa essere legittima a meno che “tutte le proposizioni” non si riferiscano a una collezione già definita, cosa che non può fare se sono create nuove proposizioni da affermazioni su “tutte le proposizioni”. Dobbiamo quindi dire che le affermazioni su “tutte le proposizioni” sono prive di significato. […] Il principio che ci consente di evitare totalità illegittime può essere espresso come segue: “Tutto ciò che riguarda l’intera collezione non deve essere parte della collezione”; o, al contrario: “Se, ammesso che una certa collezione avesse un totale, avrebbe membri definibili solo in termini di quel totale, allora la detta collezione non avrebbe alcun totale.” Lo chiameremo il “principio del circolo vizioso”, perché ci consente di evitare i circoli viziosi coinvolti nell’assunzione di totalità illegittime. (1910, 2a edizione 37)

Se Whitehead e Russell hanno ragione, ne consegue che l’ambito di applicazione di nessuna funzione potrà mai includere alcun oggetto presupposto dalla funzione stessa. Di conseguenza, le funzioni proposizionali (insieme alle proposizioni corrispondenti) finiranno per essere disposte in una gerarchia del tipo proposto da Russell.

Sebbene Russell abbia introdotto per la prima volta la sua teoria dei tipi nei Principles of Mathematics del 1903, riconobbe immediatamente che era necessario fare delle ricerche ulteriori, poiché il suo resoconto iniziale sembrava risolvere alcuni, ma non tutti, i paradossi. Tra le alternative che ha considerato c’era la cosiddetta teoria sostitutiva (Galaugher 2013). Questo a sua volta portò all’espressione più matura della teoria dei tipi cinque anni dopo, nell’articolo di Russell del 1908, “Mathematical Logic as Based on the Theory of Types”, e nel monumentale lavoro di cui fu coautore con Alfred North Whitehead, i Principia Mathematica (1910, 1912, 1913). La teoria dei tipi di Russell appare quindi in due versioni: la “teoria semplice” del 1903 e la “teoria ramificata” del 1908. Entrambe le versioni sono state criticate perché troppo ad hoc per eliminare con successo il paradosso.

In risposta al paradosso di Russell, David Hilbert ha anche ampliato il suo programma di costruzione di una base assiomatica coerente per la matematica, in modo che includesse una base assiomatica per la logica e la teoria degli insiemi (Peckhaus 2004). Alla base di questo approccio formalista c’era l’idea di consentire l’uso di soli oggetti finiti, ben definiti e costruibili, insieme a regole di inferenza ritenute assolutamente certe.

Infine, Luitzen Brouwer sviluppò l’intuizionismo, la cui idea di base era che non si può affermare l’esistenza di un oggetto matematico a meno che non si possa definire una procedura per costruirlo.

Insieme, tutte queste risposte hanno aiutato a focalizzare l’attenzione sulle connessioni tra logica, linguaggio e matematica. Hanno anche aiutato i logici a sviluppare una consapevolezza esplicita della natura dei sistemi formali e dei tipi di risultati metalogici e metamatematici che si sono dimostrati centrali per la ricerca sui fondamenti della logica e della matematica negli ultimi cento anni.

4. Il paradosso di Russell nella logica contemporanea

Il paradosso di Russell è talvolta visto come uno sviluppo negativo – come l’abbattimento dei Grundgesetze di Frege – e come uno dei peccati originali sui concetti che hanno portato alla nostra espulsione dal paradiso di Cantor. W.V. Quine descrive il paradosso come una “antinomia” che “racchiude una sorpresa che può essere accolta nientemeno che dal ripudio della nostra eredità concettuale” (1966, 11). Quine si riferisce al principio della comprensione ingenua menzionato prima. In simboli, il principio afferma che

(PCI) ∃A ∀x (x ∈ A ≡ ϕ)

dove A non è libero nella formula ϕ. Questo dice: “Esiste un insieme A tale che per qualsiasi oggetto x, x è un elemento di A se e solo se la condizione espressa da ϕ tiene.” Il paradosso di Russell nasce dal fatto che consideriamo ϕ come se fosse la formula: X ∉ X.

Nonostante il commento di Quine, è possibile vedere il paradosso di Russell in una luce più positiva. Per prima cosa, sebbene la questione rimanga controversa, ricerche successive hanno rivelato che il paradosso non mette necessariamente in cortocircuito la derivazione aritmetica di Frege partendo dalla sola logica. La versione di Frege di PCI (il suo assioma V) può essere semplicemente abbandonata. (Per i dettagli, vedere la voce sul teorema di Frege.) Per un altro verso, Church fornisce un’elegante formulazione della semplice teoria dei tipi che si è dimostrata fruttuosa anche in aree rimosse dalle basi della matematica. (Per i dettagli, vedere la voce sulla Teoria dei tipi.) Infine, lo sviluppo di teorie assiomatiche (in contrasto con quelle ingenue) che mostrano vari modi ingegnosi matematicamente e filosoficamente significativi di affrontare il paradosso di Russell, ha aperto la strada a risultati sbalorditivi nella metamatematica della teoria degli insiemi. Questi risultati hanno incluso i teoremi di Gödel e Cohen sull’indipendenza dell’assioma della scelta e l’ipotesi del continuo di Cantor. Vediamo quindi, approssimativamente, come alcuni di questi metodi – in particolare, i cosiddetti metodi “non-tipizzati” – affrontino il paradosso di Russell.

Zermelo sostituisce PCI con il seguente schema per l’assioma di separazione (o Aussonderungsaxiom):

(ZA) ∀A ∃ B ∀x (x ∈ B ≡ (x ∈ A ∧ ϕ)).

Ancora una volta, per evitare la circolarità, B non può essere libero in ϕ. Ciò richiede che per rientrare in B, x deve essere un membro di un insieme esistente A. Come si può immaginare, ciò richiede una serie di assiomi di esistenza di insiemi aggiuntivi, nessuno dei quali sarebbe richiesto se PCI avesse retto.

In che modo ZA evita il paradosso di Russell? All’inizio si potrebbe pensare che non sia così. Dopotutto, se facciamo sì che A sia V – l’intero universo degli insiemi – e che ϕ sia X ∉ X, sembra sorgere di nuovo una contraddizione. Ma in questo caso, tutto ciò che mostra la contraddizione è che V non è un insieme. Quello che mostra è che “V” è un nome vuoto (V non esiste, non ha un riferimento), poiché l’ontologia del sistema di Zermelo consiste unicamente di insiemi.

Questo stesso punto può essere espresso in un altro modo, coinvolgendo una forma relativizzata dell’argomento di Russell. Sia B un qualsiasi insieme. In base a ZA, l’insieme RB = {x ∈ B: x ∉ x} esiste, ma non può essere un elemento di B. Perché se è un elemento di B, allora possiamo chiederci se è o meno un elemento di RB; e lo è se e solo se non lo è. Quindi qualcosa, vale a dire RB, è “mancante” in ogni insieme B. Quindi di nuovo V non è un insieme, poiché non può mancare nulla in V. Ma si noti la seguente sottigliezza: a differenza dell’argomento precedente che applicava direttamente Aussonderungs a V, il presente argomento accenna all’idea che, mentre V non è un insieme, “V” non è un nome vuoto. La prossima strategia per affrontare il paradosso di Russell sfrutta questo suggerimento.

Il metodo non-tipizzato di John von Neumann (1925) per affrontare i paradossi, e in particolare il paradosso di Russell, è semplice e ingegnoso. Von Neumann introduce una distinzione tra appartenenza e non appartenenza e, su questa base, traccia una distinzione tra insiemi e classi. Un oggetto è un membro (simpliciter) se membro di una classe; ed è un non-membro se non è un membro di nessuna classe. (In realtà, von Neumann sviluppa una teoria delle funzioni, intesa come primitiva, piuttosto che delle classi, in cui in corrispondenza della distinzione membro/non-membro si ha una distinzione tra un oggetto che può essere un argomento di qualche funzione e uno che non può. La sua forma moderna, dovuta a Bernays e Gödel, è una teoria delle classi univoca.)

Gli insiemi vengono quindi definiti come membri e i non-membri vengono etichettati come “classi appropriate”. Quindi, ad esempio, la classe di Russell, R, non può essere un membro di nessuna classe e quindi deve essere una classe appropriata. Se R si presume che sia un elemento di una classe A, segue da uno degli assiomi di von Neumann che R non è equivalente a V. Ma R è equivalente a V, e quindi non è un elemento di A. Dunque il metodo di von Neumann è strettamente correlato al risultato dichiarato sopra sull’insieme RB, per una B a scelta. Il metodo di Von Neumann, sebbene ammirato da persone del calibro di Gödel e Bernays, è stato sottovalutato negli ultimi anni.

Quine (1937) e (1967) forniscono analogamente un altro metodo non-tipizzato (alla lettera, se non nello spirito) per bloccare il paradosso di Russell, e che è pieno di anomalie interessanti. L’idea di base di Quine è introdurre un assioma di comprensione stratificato. In effetti, l’assioma blocca la circolarità introducendo una gerarchia (o stratificazione) che è simile alla teoria dei tipi per certi versi e dissimile per altri. (I dettagli si possono trovare nella voce sulla Nuova fondazione di Quine.)

In contrasto con le strategie di Zermelo, von Neumann e Quine, che sono in un certo senso puramente teoriche, ci sono stati anche tentativi di evitare il paradosso di Russell alterando la logica sottostante. Si sono avuti molti tentativi di questo tipo e non li esamineremo tutti, ma uno si distingue per essere, al momento, sia radicale sia alquanto popolare (sebbene non tra i teorici degli insiemi di per sé): questo è l’approccio paraconsistente, che limita l’effetto complessivo di una contraddizione isolata su un’intera teoria. La logica classica impone che qualsiasi contraddizione banalizzi una teoria rendendo dimostrabile ogni enunciato della teoria. Questo perché, nella logica classica, vale il seguente teorema:

(Ex Falso Quodlibet) A ⊃ (∼ A ⊃ B).

Ora, praticamente l’unico modo per evitare EFQ è rinunciare al sillogismo disgiuntivo, cioè date le solite definizioni dei connettivi, al modus ponens! Quindi alterare la logica sentenziale di base in questo modo è davvero radicale, ma possibile. Sfortunatamente, anche rinunciare a EFQ non è sufficiente per mantenere una parvenza di PCI. Si deve anche rinunciare al seguente teorema aggiuntivo della logica sentenziale di base:

(Contrazione) (A ⊃ (A ⊃ B)) ⊃ (A ⊃ B).

Si può quindi sostenere che PCI porti direttamente, non solo a una contraddizione isolata, ma alla banalità. (Per l’argomento che mostra che le cose stanno così, vedere la voce sul paradosso di Curry, sezione 2.2. Si noti inoltre che non è sufficiente semplicemente mantenere il nome “modus ponens“; è la regola stessa che viene modificata all’interno di logiche non tradizionali.) Quindi sembra che i guai di PCI non siano limitati al paradosso di Russell, ma includano anche un paradosso privo di negazioni dovuto a Curry.

Un altro suggerimento potrebbe essere quello di concludere che il paradosso dipende da un’istanza del principio del terzo escluso, ossia che R o è un membro di R o non lo è. Questo è un principio che viene rifiutato da alcuni approcci non classici alla logica, compreso l’intuizionismo. Tuttavia, è possibile formulare il paradosso senza fare appello al principio del terzo escluso basandosi invece sul principio di non-contraddizione. Si fa nel modo seguente: data la definizione di R, segue che R ∈ R ≡ ∼ (R ∈ R). Così R ∈ R ⊃ ∼ (R ∈ R). Ma sappiamo anche che R ∈ R ⊃ R ∈ R. Così R ∈ R ⊃ (R ∈ R ∧ ∼ (R ∈ R)). Ma in base al principio di non-contraddizione sappiamo che ∼ (R ∈ R ∧ ∼ (R ∈ R)). Quindi per modus tollens concludiamo che ∼ (R ∈ R). Allo stesso tempo sappiamo anche dal momento che R ∈ R ≡ ∼ (R ∈ R), ne consegue che ∼ (R ∈ R) ⊃ R ∈ R, e quindi che R ∈ R. Quindi possiamo dedurre sia R ∈ R sia la sua negazione usando solo metodi accettati dall’intuizionismo.

Sembra, quindi, che i fautori di logiche non classiche non possano affermare di aver conservato PCI in alcun senso significativo, oltre a preservare la forma puramente sintattica del principio, e né l’intuizionismo né la paraconsistenza, insieme all’abbandono della Contrazione offriranno un vantaggio rispetto alle soluzioni non-tipizzate di Zermelo, von Neumann o Quine. (Ulteriori discussioni si possono trovare in Meyer, Routley e Dunn (1979), Irvine (1992), Priest (2006, capitolo 18), Weber (2010), Weber (2012) e nelle voci sul paradosso di Curry (sezione 2.2) e sulla logica paraconsistente (sezione 2.3).)

Vale anche la pena notare che il paradosso da lui scoperto non era l’unico che turbava Russell e, quindi, non era l’unico motivo per ricorrere alle restrizioni di tipo che si trovano nei Principia Mathematica. Nella sua opera precedente, The Principles of Mathematics, Russell dedica un capitolo alla “contraddizione” (il paradosso di Russell), presentandola in diverse forme e respingendo diverse risposte insoddisfacenti. Quindi segnala che discuterà “brevemente” la teoria dei tipi. Questo non accade per diverse centinaia di pagine, finché non arriviamo alla fine del libro, nell’Appendice B! Lì Russell presenta un abbozzo, una semplice teoria dei tipi, non la teoria dei tipi che troviamo nei Principia Mathematica. Perché era necessaria la teoria successiva? La ragione è che nell’Appendice B Russell presenta anche un altro paradosso che secondo lui non può essere risolto mediante la semplice teoria dei tipi. Questo nuovo paradosso riguarda le proposizioni, non le classi, e, insieme ai paradossi semantici, ha portato Russell a formulare la sua versione ramificata della teoria dei tipi.

La nuova versione proposizionale del paradosso non ha avuto un ruolo preminente nello sviluppo successivo della logica e della teoria degli insiemi, ma ha lasciato Russell molto perplesso. Per prima cosa, sembra contraddire il teorema di Cantor. Russell scrive: “Non possiamo ammettere che esistano più intervalli [classi di proposizioni] che proposizioni” (1903, 527). La ragione è che sembrano esserci facili correlazioni una ad una tra classi di proposizioni e proposizioni. Ad esempio, la classe m di proposizioni può essere correlata con la proposizione, in cui ogni proposizione m, è vera. Questo, insieme a un principio a grana fine di individuazione delle proposizioni (asserendo, per prima cosa, che se le classi m e n delle proposizioni sono diverse, allora qualsiasi proposizione su m sarà diversa da qualsiasi proposizione su n) porta ad una contraddizione.

Si è discusso relativamente poco di questo paradosso, sebbene abbia svolto un ruolo chiave nello sviluppo della logica del senso e della denotazione dei Church. Sebbene abbiamo diverse teorie sugli insiemi tra cui scegliere, non abbiamo nulla di simile a una teoria ben sviluppata delle proposizioni russelliane, sebbene tali proposizioni siano centrali per le visioni milliane e dei teorici del riferimento diretto. Si potrebbe pensare che una tale teoria sarebbe necessaria per i fondamenti della semantica, se non per i fondamenti della matematica. Così, mentre uno dei paradossi di Russell ha portato al fruttuoso sviluppo dei fondamenti della matematica, l’“altro” paradosso deve ancora condurre a qualcosa di lontanamente simile nelle basi della semantica. A dire il vero, Church (1974a) e Anderson (1989) hanno tentato di sviluppare una logica intensionale russelliana basata sulla teoria ramificata dei tipi, ma si può sostenere che la teoria ramificata è troppo restrittiva per servire come fondamento per la semantica del linguaggio naturale. Ci sono stati anche alcuni tentativi recenti per iniziare a lavorare su una logica intensionale russelliana basata su teorie degli insiemi non-tipizzati (Cantini 2004; Deutsch 2014). È piuttosto ironico che, sebbene le proposizioni russelliane a grana fine siano favorite nella filosofia del linguaggio, lo sviluppo formale della logica intensionale è dominato dalla grammatica Montague, con la sua teoria delle proposizioni a grana grossa.

Vale anche la pena notare che un certo numero di principi solo apparentemente teorici degli insiemi sono in realtà esempi (applicati) di teoremi di logica pura (cioè, della teoria della quantificazione del primo ordine con identità)! C’è un elenco (parziale) di questi in Kalish, Montague e Mar (2000). In questo elenco il paradosso di Russell è presentato in T269:

(T269) ∼ ∃ y ∀xd (Fxy ≡ ∼ Fxx).

Se intendiamo la lettera del predicato diadico “F” come “è un membro di”, questo significa che non si dà il caso che ci sia una y tale che per qualsiasi x, x è un membro di y se e solo se x non è un membro di x. Questo significa che il paradosso di Russell si riduce a T269?

Certamente la dimostrazione di T269 rispecchia l’essenza dell’argomento di Russell, il suo modello di ragionamento. Ma in quel modello è sottoscritta anche una lista infinita di “paradossi” apparentemente frivoli, come il famoso paradosso del barbiere che rade tutti e solo chi non si rade o, allo stesso modo, il paradosso del Dio benevolo ma efficiente che aiuta tutti, e solo, coloro che non si aiutano da soli.

In che modo questi “pseudo-paradossi”, come vengono talvolta chiamati, differiscono, se non del tutto, dal paradosso di Russell? Il modello di ragionamento è lo stesso e la conclusione – che non esiste un tale barbiere, nessun Dio così efficiente, nessun tale insieme di insiemi che non sono membri si è stessi – è la stessa: queste cose semplicemente non esistono. (Tuttavia, come ha mostrato von Neumann, non è necessario arrivare fino a questo punto. Il metodo di Von Neumann ci insegna non che cose come R non esistono, ma solo che non si può dire molto di loro, in quanto R e simili non possono cadere nell’estensione di alcun predicato che si qualifichi come una classe.)

La risposta standard a questa domanda è che la differenza sta nell’argomento. Quine si chiede: “Perché [il paradosso di Russell] conta come un’antinomia e il paradosso del barbiere no?”; e risponde: “La ragione è che nel nostro modo di pensare abituale c’è stata una presunzione schiacciante che esistesse una tale classe, ma nessuna presunzione che esistesse un tale barbiere” (1966, 14). Anche così, il discorso psicologico sulle “abitudini del pensiero” non è particolarmente illuminante. Più precisamente, il paradosso di Russell solleva sensibilmente la questione di quali insiemi ci siano; ma non ha senso chiedersi, per motivi come T269, quali barbieri o divinità esistano!

Questo verdetto, tuttavia, non è del tutto corretto per i tifosi del paradosso del barbiere o di T269 in generale. Costoro insisteranno sul fatto che la questione sollevata da T269 non è in merito a quali barbieri o divinità esistano, ma piuttosto quali oggetti non paradossali esistano. Questa domanda è praticamente la stessa di quella sollevata dallo stesso paradosso di Russell. Quindi, da questa prospettiva, la relazione tra il paradosso del barbiere e Russell è molto più stretta di quanto molti (seguendo Quine) siano stati disposti ad accettare (Salmon 2013).

Si noti che esiste una formula logica del primo ordine che ha la stessa relazione con il principio riguardo RB che T269 ha con il paradosso di Russell. È la seguente:

(T273) ∀z ∀y (∀x [Fxy ≡ (Fxz ∧ ∼ Fxx)] ⊃ ∼ Fyz).

(Ci siamo presi la libertà di estendere la numerazione usata in Kalish, Montague e Mar (2000) a T273). Ma non tutti i paradossi della teoria degli insiemi sono similmente correlati ai teoremi logici del primo ordine. Un esempio è il paradosso Burali-Forti, poiché la nozione di buon ordinamento non è elementare; cioè, non è definibile nel primo ordine.)

Il paradosso di Russell non è mai stato superato, ma recentemente si è assistito ad un’esplosione di interesse da parte di studiosi coinvolti nella ricerca sulla logica matematica e negli studi filosofici e storici della logica moderna. Uno sguardo al contenuto del volume del 2004 One Hundred Years of Russell’s Paradox mostra importanti logici, matematici, filosofi e storici della logica che si riversano sul paradosso, proponendo nuove strade per ritornare al paradiso di Cantor, o altri modi per risolvere il problema. Le loro indagini includono vie radicalmente nuove per uscire dal dilemma posto dal paradosso, nuovi studi sulle teorie dei tipi (semplici e ramificate e loro estensioni), nuove interpretazioni del paradosso di Russell e delle teorie costruttive, delle proposizioni del paradosso di Russell e del suo tentativo di fornire una teoria non-tipizzata (la teoria della sostituzione) e così via.

Tutto ciò ci ricorda che un lavoro fruttuoso può derivare dalla più improbabile delle osservazioni. Come ha affermato Dana Scott, “È da capire fin dall’inizio che il paradosso di Russell non si deve considerare alla stregua di un disastro. Questo paradosso e i paradossi a esso correlati mostrano che la nozione ingenua di tutti gli insiemi inclusivi è insostenibile. Questo è un risultato, fuor di dubbio” (1974, 207).

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Strumenti accademici

Altre risorse in Internet

Voci correlate

Cantor, Georg | Frege, Gottlob | Frege, Gottlob: theorem and foundations for arithmetic | logic: paraconsistent | mathematics: inconsistent | Peano, Giuseppe | Principia Mathematica | Quine, Willard van Orman: New Foundations | Russell, Bertrand | self-reference | type theory | Whitehead, Alfred North

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