Logica modale

Traduzione di Luis Felipe Bartolo Alegre. 

Revisione di Richard Magnano, pagina originale di James Garson.

Versione: Estate 2021.

The following is the translation of James Garson entry on “Modal logic” in the Stanford Encyclopedia of Philosophy. The translation follows the version of the entry in the SEP’s archives at <https://plato.stanford.edu/archives/sum2021/entries/logic-modal/>. This translated version may differ from the current version of the entry, which may have been updated since the time of this translation. The current version is located at <https://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/>. We’d like to thank the Editors of the Stanford Encyclopedia of Philosophy for granting permission to translate and to publish this entry on the web.

Le espressioni modali (come “necessariamente” o “possibilmente”) vengono usate per qualificare la verità di un giudizio. La logica modale è, in senso stretto, lo studio del comportamento deduttivo delle espressioni “è necessario che” e “è possibile che”. Tuttavia, il termine “logica modale” può essere usato più ampiamente per racchiudere una famiglia di sistemi correlati. Questi includono le logiche della credenza, delle espressioni temporali, delle espressioni deontiche (morali) come “è obbligatorio che” e “è permesso che”, e di molte altre. Comprendere la logica modale è particolarmente prezioso nell’analisi formale dell’argomentazione filosofica, dove le espressioni della famiglia modale sono sia comuni che confuse. La logica modale ha anche importanti applicazioni nell’informatica.

 

1. Cos’è la logica modale?

In senso stretto, la logica modale studia il ragionamento che comporta l’uso delle espressioni “necessariamente” e “possibilmente”. Tuttavia, il termine “logica modale” è usato in modo più ampio per coprire una famiglia di logiche con regole simili e una varietà di simboli diversi.
Segue una lista che descrive le più note di queste logiche.

Logica Simboli Espressioni simboleggiate
Logica modale È necessario che …
È possibile che …
Logica deontica O

È obbligatorio che …

P È permesso che …
F È vietato che …
Logica temporale G Sarà sempre vero che …
F Sarà vero che …
H È sempre stato vero che …
P Era vero che …
Logica doxastica Bx  crede che …

2. Le logiche modali

Le logiche più familiari della famiglia modale sono costruite da una logica debole chiamata K (da Saul Kripke). Stricto sensu, la logica modale riguarda la necessità e la possibilità. Una varietà di sistemi diversi può essere sviluppata per tali logiche usando K come base. I simboli di K includono “∼” per “non”, “→” per “se…, allora”, e “□” per l’operatore modale “è necessario che”. (I connettivi “”, “∨” e “↔” possono essere definiti da “∼” e “→” come si fa nella logica proposizionale.) K risulta dall’aggiungere ai principi della logica proposizionale quanto segue:

Regola di necessitazione: se A è un teorema di K, allora lo è anche □A,
Assioma della distribuzione: □(AB)→(□A→□B).

(In questi principi usiamo “A” e “B” come metavariabili che denotano formule del linguaggio.) Secondo la regola della necessitazione, qualsiasi teorema della logica è necessario. L’assioma di distribuzione dice che, se è necessario che se A allora B, allora se necessariamente A, allora necessariamente B.
L’operatore ◊ (per “possibilmente”) può essere definito da □ ammettendo che ◊A=∼□∼A. In K, gli operatori □ e ◊ si comportano in modo molto simile ai quantificatori ∀ (ogni) e ∃ (qualche). Per esempio, la definizione di ◊ a partire da □ rispecchia l’equivalenza di ∀xA con ∼∃xA nella logica dei predicati. Inoltre, da □(AB) segue □A∧□B e viceversa; mentre da □A∨□B segue □(AB), ma non viceversa. Questo riflette le disposizioni mostrate dal quantificatore universale: da ∀x(AB) segue ∀xA∧∀xB e viceversa, mentre da ∀xA∨∀xB segue ∀x(AB) ma non viceversa. Si possono fare paralleli simili tra ◊ e ∃. Le basi di questa corrispondenza tra gli operatori modali e i quantificatori emergeranno più chiaramente nella sezione sulla Semantica dei Mondi Possibili.

Il sistema K è troppo debole per fornire un resoconto adeguato della necessità. Il seguente assioma non è dimostrabile in K, ma è chiaramente desiderabile.

(M) □AA.

(M) afferma che tutto ciò che è necessario è vero. Si noti che (M) sarebbe inappropriato se □ fosse inteso come “dovrebbe essere che”, o “era vero che”. Così la presenza dell’assioma (M) distingue le logiche di necessità dalle altre logiche della famiglia modale. Una logica modale di base M risulta dall’aggiunta di (M) a K. (Alcuni autori chiamano questo sistema T.)
Molti logici credono che M sia ancora troppo debole per formalizzare appropriatamente la logica della necessità e della possibilità. Essi raccomandano ulteriori assiomi per governare l’iterazione, ossia ripetizione degli operatori modali. Ecco due dei più famosi assiomi di iterazione:

(4) □A→□□A,
(5) ◊A→□◊A.

S4 è il sistema che risulta dall’aggiunta di (4) a M. Allo stesso modo S5 è M più (5). In S4, la frase □□A è equivalente a □A. Di conseguenza, qualsiasi stringa di caselle può essere sostituita da una sola casella, e lo stesso vale per le stringhe di rombi. Questo equivale all’idea che l’iterazione degli operatori modali è superflua. Dire che A è necessariamente necessario è considerato un modo inutilmente prolisso di dire che A è necessario. Il sistema S5 ha principi ancora più forti per semplificare le stringhe di operatori modali. In S4, una stringa di operatori dello stesso tipo può essere sostituita per quell’operatore; in S5, le stringhe che contengono sia caselle che rombi sono equivalenti all’ultimo operatore della stringa. Così, per esempio, dire che è possibile che A sia necessario è lo stesso che dire che A è necessario. Segue un riassunto di queste caratteristiche di S4 e S5:

(S4) □□…□=□ e ◊◊…◊=◊,
(S5) 00…□=□ e 00…◊=◊, dove ogni 0 è o □ o ◊.

Si potrebbe discutere all’infinito sulla appropriatezza o inappropriatezza di questi e altri principi di iterazione per □ e ◊. La controversia può essere in parte risolta se si ammette che le parole “necessariamente” e “possibilmente” hanno molti usi diversi. Quindi l’accettabilità degli assiomi per la logica modale dipende da quale di questi usi abbiamo in mente. Per questo motivo, non esiste una sola logica modale, ma piuttosto un’intera famiglia di sistemi costruiti intorno a M. La relazione tra questi sistemi è schematizzata nella Sezione 8, e la loro applicazione ai diversi usi di “necessariamente” e “possibilmente” può essere compresa più a fondo studiando la loro semantica dei mondi possibili nella Sezione 6.

Il sistema B (per il logico Brouwer) si forma aggiungendo a M l’assioma:

(B) A→□◊A.

È interessante notare che S5 può essere formulato in modo equivalente aggiungendo (B) a S4. L’assioma (B) solleva un punto importante sull’interpretazione delle formule modali. (B) dice che, se A è vero, allora A è necessariamente possibile. Si potrebbe sostenere che (B) dovrebbe essere sempre adottato in ogni logica modale, perché sicuramente se A è vero, allora è necessario che A sia possibile. Tuttavia, c’è un problema con questa affermazione che può essere esposto notando che ◊□AA è dimostrabile da (B). Quindi ◊□AA dovrebbe essere accettabile se (B) lo è. Tuttavia, ◊□AA dice che, se A è possibilmente necessario, allora A è vero, e questo è tutt’altro che ovvio. Perché (B) sembra ovvio, mentre una delle cose che ne consegue non sembra affatto ovvia? La risposta è che c’è una pericolosa ambiguità nell’interpretazione di A→□◊A nell’italiano ed altre lingue naturali . Usiamo spesso l’espressione “Se A, allora necessariamente B” per esprimere che la implicazione “se A, allora B” è necessaria, interpretazione che corrisponde a □(AB). In altre occasioni, si intende che se A, allora B è necessario, cioè A→□B. In italiano, “necessariamente” è un avverbio, e poiché gli avverbi sono di solito posti vicino ai verbi, non abbiamo un modo naturale per indicare se l’operatore modale si applica all’intero condizionale o al suo conseguente. Per queste ragioni, c’è la tendenza a confondere (B), cioè A→□◊A, con □(A→◊A). Ma □(A→◊A) non è la stessa cosa di (B), perché □(A→◊A) è già un teorema di M, ma (B) non lo è. Bisogna fare particolare attenzione che la nostra reazione positiva a □(A→◊A) non influisca la nostra valutazione di (B). Un modo semplice per proteggerci è formulare B in modo equivalente usando l’assioma: ◊□AA, dove queste ambiguità di portata non si presentano.

 

3. Le logiche deontiche

Le logiche deontiche introducono il simbolo primitivo O per “è obbligatorio che”, da cui i simboli P per “è permesso che” e F per “è vietato che” sono così definiti: PA=∼OA e FA=OA. L’analogo deontico dell’assioma modale (M), cioè OAA, è chiaramente non/inappropriato per la logica deontica. (Sfortunatamente, ciò che dovrebbe essere non è sempre vero.) Tuttavia, un sistema di base D della logica deontica può essere costruito aggiungendo a K l’assioma più debole:
(D) OAPA.

L’assioma (D) garantisce la consistenza del sistema degli obblighi insistendo sul fatto che, quando A è obbligatorio, A è permissibile. Un sistema che ci obbliga a realizzare A, ma non ci permette di farlo, ci mette in un circolo vizioso. Anche se alcuni sosterranno che tali conflitti di obblighi sono almeno possibili, la maggior parte dei logici deontici accetta (D).
O(OAA) è un altro assioma deontico che sembra auspicabile. Anche se è sbagliato dire che, se A è obbligatorio, allora A è vero (OAA), tuttavia, questa condizione dovrebbe essere vero. Così alcuni logici deontici credono che D debba essere integrato anche con O(OAA).

La controversia sull’iterazione (ripetizione) degli operatori si manifesta di nuovo nella logica deontica. In alcune concezioni dell’obbligo, OOA ammonta solo a OA. “Dovrebbe essere che dovrebbe essere” è trattato come una sorta di balbuzie; i “dovrebbe” in più non aggiungono nulla di nuovo. Così si aggiungono assiomi per garantire l’equivalenza di OOA e OA. La politica di iterazione più generale incarnata in S5 può anche essere adottata. Tuttavia, ci sono concezioni dell’obbligo in cui la distinzione tra OA e OOA è preservata. L’idea è che ci sono differenze genuine tra gli obblighi che abbiamo attualmente e gli obblighi che dovremmo adottare. Così, per esempio, “dovrebbe essere che dovrebbe essere che A” comanda l’adozione di qualche obbligo che potrebbe non essere attualmente in vigore, con il risultato che OOA può essere vero anche quando OA sia falso.

 

4. Le logiche temporali

Nella logica temporale (conosciuta anche come logica dei tempi verbali), ci sono due operatori di base: G per il futuro e H per il passato. G si legge “sarà sempre così” e l’operatore definito F (leggi “sarà vero che”) può essere introdotto da FA=∼GA. Allo stesso modo H si legge: “è sempre stato che” e P (per “era vero che”) è definito da PA=∼HA. Un sistema base di logica temporale chiamato Kt si ottiene adottando i principi di K per entrambi G e H, assieme a due assiomi che governano l’interazione tra gli operatori passato e futuro:

Regole di necessitazione: Se A è un teorema, allora lo sono anche GA e HA.
Assiomi di distribuzione: G(AB)→(GAGB) e H(AB)→(HAHB).
Assiomi di interazione: AGPA e AHFA.

Gli assiomi di interazione sollevano questioni riguardanti le asimmetrie tra il passato e il futuro. Un’intuizione standard è che il passato è fisso, mentre il futuro è ancora aperto. Il primo assioma di interazione (AGPA) è conforme a questa intuizione nel riportare che ciò che è vero (A) sarà in tutti i tempi futuri nel passato (GPA). Tuttavia, AHFA può sembrare avere sottointesi inaccettabilmente deterministici, perché apparentemente afferma che ciò che è vero ora (A) lo è sempre stato tanto che succederà anche nel futuro (HFA). Tuttavia, la semantica dei mondi possibili per la logica temporale rivela che questa preoccupazione deriva da una semplice confusione, e che i due assiomi di interazione sono ugualmente accettabili.

Si noti che l’assioma caratteristico della logica modale, (M), cioè □AA, non è accettabile né per H né per G, poiché A non segue da “è sempre stato vero che A”, né da “sarà sempre vero che A”. Tuttavia, è accettabile in una logica temporale strettamente correlata dove G si legge “è e sarà sempre che”, e H si legge “è e sempre è stato che”.
A seconda delle assunzioni che si fanno sulla struttura del tempo, bisogna aggiungere altri assiomi alle logiche temporali. Segue una lista di assiomi comunemente adottati nelle logiche temporali:

GAGGA e HAHHA
GGAGA e HHAHA
GAFA e HAPA

Un resoconto di come questi assiomi dipendono dalla struttura del tempo si troverà nella sezione Semantica dei mondi possibili.
È interessante notare che alcune combinazioni di operatori di tempo passato e futuro possono essere usate per esprimere tempi composti in italiano. Per esempio, FPA, corrisponde alla frase A nel tempo futuro anteriore (come in “20 secondi da ora la luce sarà cambiata”). Allo stesso modo, PPA esprime il trapassato prossimo.

Per una discussione più dettagliata, si veda la voce sulla logica temporale.

 

5. Logiche condizionali e di rilevanza

Il fondatore della logica modale, C. I. Lewis, definì una serie di logiche modali che non avevano □ come simbolo primitivo. Lewis si premurava di sviluppare una logica dei condizionali che fosse libera dai cosiddetti paradossi dell’implicazione materiale, cioè i teoremi classici A→(∼AB) e B→(AB). Lui introdusse il simbolo ⥽ per “implicazione stretta” e sviluppò logiche in cui né A⥽(∼AB) né B⥽(AB) sono dimostrabili. La pratica moderna è stata quella di definire AB da □(AB)e usare logiche modali che governano □ per ottenere risultati simili. Tuttavia, la dimostrabilità di tali formule come (A∧∼A)⥽B in tali logiche sembra in contrasto con la preoccupazione per i paradossi. Anderson e Belnap (1975) hanno sviluppato i sistemi R (per Logica de la Rilevanza) ed E (per Entailment, cioè Implicazione), che sono stati progettati per superare tali difficoltà. Questi sistemi richiedono una revisione dei sistemi standard della logica proposizionale. (Vedi Mares (2004) e la voce sulla logica della rilevanza)
David Lewis (1973) e altri hanno sviluppato logiche condizionali per gestire espressioni controfattuali, cioè espressioni della forma “se A dovesse accadere allora B accadrebbe” (Kvart (1980) è un’altra buona fonte sul tema). Le logiche controfattuali differiscono da quelle basate sull’implicazione stretta perché le prime rifiutano mentre le seconde accettano la contrapposizione.

 

6. La semantica dei mondi possibili

Lo scopo della logica è quello di caratterizzare la differenza tra argomenti validi e non validi. Un sistema logico per un linguaggio è un insieme di assiomi e regole progettato per dimostrare esattamente gli argomenti validi enunciabili in tale linguaggio. Creare una tale logica può essere un compito difficile. Il logico deve assicurarsi che il sistema sia corretto (“sound”, in inglese), cioè che ogni argomento dimostrato usando le regole e gli assiomi sia effettivamente valido. Inoltre, il sistema dovrebbe essere completo, cioè ogni argomento valido dovrebbe avere una dimostrazione nel sistema. Dimostrare la correttezza e la completezza dei sistemi formali è la preoccupazione centrale di un logico.

Una tale dimostrazione non può essere avviata finché il concetto di validità non sia definito in modo rigoroso. La semantica formale di una logica fornisce una definizione di validità caratterizzando il comportamento di verità delle frasi del sistema. Nella logica proposizionale, la validità può essere definita usando le tabelle di verità. Un argomento valido è semplicemente uno in cui ogni riga della tabella di verità che rende vere le sue premesse rende vera anche la sua conclusione. Tuttavia, le tabelle di verità non possono essere usate per fornire un resoconto della validità nelle logiche modali perché non ci sono tabelle di verità per espressioni come “è necessario che”, “è obbligatorio che” e simili. (Il problema è che il valore di verità di A non determina il valore di verità per □A. Per esempio, quando A è “I cani sono cani”, □A è vero, ma quando A è “I cani sono animali domestici”, □A è falso.) Tuttavia, la semantica per le logiche modali può essere definita introducendo il concetto di mondo possibile. Illustreremo la semantica dei mondi possibili per una logica di necessità contenente i simboli ∼, →e□. Poi spiegheremo come la stessa strategia può essere adattata ad altre logiche della famiglia modale.

Nella logica proposizionale, una valutazione delle frasi atomiche (o riga di una tabella di verità) assegna un valore di verità (V o F) ad ogni variabile proposizionale p. Quindi i valori di verità delle frasi complesse sono calcolati con le tabelle di verità. Nella semantica modale, viene introdotto un insieme W di mondi possibili. Una valutazione dà quindi un valore di verità ad ogni variabile proposizionale per ciascuno dei mondi possibili in W. Questo significa che il valore assegnato a p per il mondo w può differire dal valore assegnato a p per un altro mondo w”.

Il valore di verità della frase atomica p al mondo w dato dalla valutazione v può essere scritto v(p,w). Data questa notazione, i valori di verità (V per vero, F per falso) di frasi complesse della logica modale per una data valutazione v (e membro w dell’insieme dei mondi W) possono essere definiti dalle seguenti clausole di verità. (L’abbreviazione “sse” corrisponde a “se e solo se”.)

(∼) v(∼A,w)=V sse v(A,w)=F.
(→) v(AB,w)=V sse v(A,w)=F oppure v(B,w)=V.
(5) v(□A,w)=V sse per ogni mondo w’ in W,v(A,w’)=V.

Le clausole (∼) e (→) descrivono semplicemente il comportamento standard della tabella di verità rispettivamente per la negazione e l’implicazione materiale. Secondo (5), □A è vero (in un mondo w) esattamente quando A è vero in tutti i mondi possibili. Data la definizione di ◊, cioè ◊A=∼□∼A, la condizione di verità (5) assicura che ◊A è vero sse A è vero in qualche mondo possibile. Poiché le clausole di verità per □ e ◊ coinvolgono i quantificatori “ogni” e “qualche” (rispettivamente), i paralleli nel comportamento logico tra □ e ∀x, e tra ◊ e ∃x menzionati nella sezione 2 saranno prevedibili.

Le clausole (∼), (→) e (5) ci permettono di calcolare il valore di verità di qualsiasi frase in qualsiasi mondo con una data valutazione. Una definizione di validità è a portata di mano . Un argomento è 5-valido per un dato insieme W (di mondi possibili) se e solo se ogni valutazione delle frasi atomiche che assegna le premesse V ad un mondo in W assegna anche la conclusione V allo stesso mondo. Un argomento si dice 5-valido sse è valido per ogni insieme non vuoto W di mondi possibili.

È stato mostrato che S5 è corretta e completa per 5-validità (da qui il nostro uso del simbolo “5”). Gli argomenti 5-validi sono esattamente gli argomenti dimostrabili in S5. Questo risultato suggerisce che S5 è il modo appropriato di formulare una logica della necessità.

Tuttavia, S5 non è una logica ragionevole per tutti i membri della famiglia modale. Nella logica deontica, nella logica temporale e in altre, l’analogo della condizione di verità (5) è chiaramente non/inappropriato; inoltre, ci sono anche concezioni della necessità in cui (5) dovrebbe essere rifiutata. Il punto è più facile da vedere nel caso della logica temporale. Qui, i membri di W sono momenti d el tempo, o mondi “congelati”, per così dire, in un istante. Per semplicità consideriamo una logica temporale futura, una logica dove □A si legge: “sarà sempre vero che”. (Formuliamo il sistema usando □ piuttosto che il tradizionale G in modo che le connessioni con altre logiche modali siano più facili da apprezzare.) La clausola appropriata per □ dovrebbe dire che □A è vero nel tempo w sse A è vero in tutti i tempi nel futuro di w. Per limitare l’attenzione al futuro, la relazione R (per “prima di”) deve essere introdotta. Allora la clausola appropriata può essere così formulata:

(K) v(□A,w)=V sse per ogni w’, se wRw’, allora v(A,w’)=V.

Questo dice che □A è vero a w sse in cui A è vero in ogni momento dopo w.

La validità per questo tipo di logica temporale può ora essere definita. Una corniceW,R⟩ è una coppia costituita da un insieme non vuoto W (di mondi) e una relazione binaria R su W. Un modelloF,v⟩ consiste in una cornice F e una valutazione v che assegna valori di verità ad ogni frase atomica in ogni mondo di W. Dato un modello, i valori di tutte le frasi complesse possono essere determinati usando (∼), (→) e (K). Un argomento è K-valido sse ogni modello la cui valutazione assegna V alle premesse in un mondo assegna anche V alla conclusione nello stesso mondo. Come il lettore può aver intuito dal nostro uso di “K”, è stato mostrato che la più semplice logica modale K è sia corretta che completa per la K-validità.

 

7. Gli assiomi modali e le condizioni sulle cornici

Si potrebbe assumere da questa discussione che K sia la logica appropriata quando □ si legge “sarà sempre vero che”. Tuttavia, ci sono ragioni per pensare che K sia troppo debole. Una caratteristica logica ovvia della relazione R (prima di) è la transitività. Se wRv è prima di v e vRu è prima di u, allora segue che wRu è prima di u. Definiamo quindi un nuovo tipo di validità che corrisponde a questa condizione su R. Sia un 4-modello qualsiasi modello la cui cornice ⟨W,R⟩ sia tale che R sia una relazione transitiva su W. Allora un argomento è 4-valido sse ogni 4-modello la cui valutazione assegna V alle premesse in un mondo assegna anche V alla conclusione nello stesso mondo. Usiamo “4” per descrivere un tale modello transitivo perché la logica che è adeguata (corretta e completa) per la 4-validità è K4, la logica che risulta dall’aggiunta dell’assioma (4), cioè □A→□□A, a K.

La transitività non è l’unica proprietà che potremmo volere della cornice ⟨W,R⟩ se R deve leggersi “prima di” e W è un insieme di momenti. Una condizione (che è solo leggermente controversa) è che non ci sia un ultimo momento del tempo, cioè che, per ogni mondo w, ci sia qualche mondo v tale che wRv. Questa condizione sulle cornici è chiamata serialità. La serialità corrisponde all’assioma (D), cioè □A→◊A, nello stesso modo in cui la transitività corrisponde a (4). Un D-modello è un K-modello con una cornice seriale. Dal concetto di D-modello si può definire la nozione corrispondente di D-validità proprio come abbiamo fatto nel caso della 4-validità. Come probabilmente avete indovinato, il sistema che è adeguato rispetto alla D-validità è KD, o K più (D). Non solo questo, ma il sistema KD4 (cioè K più (4) e (D)) è adeguato rispetto alla D4-validità, dove un D4-modello è un uno in cui ⟨W,R⟩ è sia seriale sia transitivo.

Un’altra proprietà che potremmo volere per la relazione “prima di” è la densità: la condizione che tra due tempi qualsiasi possiamo sempre trovarne un altro. La densità sarebbe falsa se il tempo fosse atomico, cioè se ci fossero intervalli di tempo che non potrebberoessere scomposti in parti più piccole. La densità corrisponde all’assioma (C4), cioè □□A→□A, il converso di (4), quindi, per esempio, il sistema KC4, che è K più (C4), è adeguato rispetto ai modelli in cui la cornice ⟨W,R⟩ è denso, e KDC4, adeguato rispetto ai modelli i cui cornici sono seriali e densi, e così via.

Ciascuno degli assiomi della logica modale che abbiamo discusso corrisponde a una condizione sulle cornici nello stesso modo. La relazione tra le condizioni sulle cornici e gli assiomi corrispondenti è uno dei temi centrali nello studio delle logiche modali. Una volta che un’interpretazione dell’operatore intensionale □ è stata decisa, le condizioni appropriate su R possono essere determinate per fissare la corrispondente nozione di validità. Questo, a sua volta, ci permette di selezionare il giusto insieme di assiomi per quella logica.

Per esempio, consideriamo una logica deontica, dove □ si legge “è obbligatorio che”. Qui la verità di □A non richiede la verità di A in ogni mondo possibile, ma solo in un sottoinsieme di quei mondi in cui le persone fanno ciò che dovrebbero fare. Quindi vorremo introdurre una relazione R anche per questo tipo di logica, e usare la clausola di verità (K) per valutare □A in un mondo. Tuttavia, in questo caso, R non è “prima di”. Invece wRw’ vale sse il mondo w’ sia una variante moralmente accettabile di w, cioè un mondo che le nostre azioni possono realizzare e che soddisfa ciò che è moralmente corretto, giusto o equo. In questi termini, dovrebbe essere chiaro che le cornici rilevanti debbano obbedire alla serialità, la condizione che richiede che ogni mondo possibile abbia una variante moralmente accettabile. L’analisi delle proprietà desiderate per R rende chiaro che una logica deontica di base può essere formulata aggiungendo l’assioma (D) e a K.

Anche nella logica modale, si può desiderare di restringere la gamma di mondi possibili che sono rilevanti nel determinare se □A è vero in un dato mondo. Per esempio, potrei dire che è necessario che io paghi le mie bollette, anche se so benissimo che c’è un mondo possibile in cui non le pago. Nel discorso ordinario, l’affermazione che A è necessario non richiede la verità di A in tutti i mondi possibili, ma solo in una certa classe di mondi che ho in mente (per esempio, mondi in cui evito le sanzioni per il mancato pagamento). Per fornire un trattamento generico della necessità, dobbiamo dire che □A è vero in w sse A è vero in tutti i mondi che sono legati a w nel modo giusto. Così, per un operatore □ interpretato come necessità, introduciamo una relazione corrispondente R sull’insieme dei mondi possibili W, tradizionalmente chiamata relazione di accessibilità. La relazione di accessibilità R vale tra i mondi w e w’ sse w’ è possibile dati i fatti di w. Sotto questa lettura per R, dovrebbe essere chiaro che le cornici per la logica modale dovrebbero essere riflessive. Ne segue che le logiche modali dovrebbero essere fondate su M, il sistema che risulta dall’aggiunta di (M) a K. A seconda di come viene intesa esattamente la relazione di accessibilità, possono essere desiderate anche la simmetria e la transitività.

Una lista di alcune delle condizioni più comunemente discusse sulle cornici e i loro assiomi corrispondenti, assieme a una mappa che mostra la relazione tra le varie logiche modali, si trovano nella prossima sezione.

 

8. Mappa delle relazioni tra le logiche modali

Il seguente diagramma mostra le relazioni tra le logiche modali più conosciute, cioè le logiche che possono essere formate aggiungendo una selezione degli assiomi (D), (M), (4), (B) e (5) a K. Una lista di questi (e altri) assiomi, assieme alle loro corrispondenti condizioni di cornice, si trova sotto il diagramma.

Diagramma delle logiche modali.

In questa tabella, i sistemi sono dati dalla lista dei loro assiomi. Così, per esempio, M4B è il risultato dell’aggiunta di (M), (4) e (B) a K. In grassetto, abbiamo indicato i nomi tradizionali di alcuni sistemi. Quando il sistema S appare collegato da una linea sotto e/o a sinistra di S′, allora S′ è un’estensione di S. Questo significa che ogni argomento dimostrabile in S è dimostrabile in S′, ma S è più debole di S′, cioè non tutti gli argomenti dimostrabili in S′ sono dimostrabili in S.

La lista seguente indica gli assiomi finora discussi in questa voce dell’enciclopedia, i loro nomi e le corrispondenti condizioni sulla relazione di accessibilità R.

Nome Assioma Condizione sulle cornici R è …

(D)

A→◊A uwRu Seriale

(M)

AA wRw Riflessiva
(4) A→□□A (wRvvRu)⇒wRu Transitiva
(B) A→□◊A wRvvRw

Simmetrica

(5) A→□◊A (wRvwRu)⇒vRu Euclidea
(CD) A→□A (wRvwRu)⇒v=u Funzionale
(□M) □(□AA) wRvvRv Riflessiva con cambio (shift reflexive)
(C4) □□A→□A wRv⇒∃u(wRuuRv) Denso
(C) ◊□A→□◊A wRvwRx⇒∃u(vRuxRu) Convergente

Nella lista delle condizioni sulle cornici, e nel resto di questo articolo, si intende che le variabili “w”, “v”, “u”, “x” e il quantificatore “∃u” variano su W. “” abbrevia “e” e “⇒” abbrevia “se… allora”.

La nozione di corrispondenza tra assiomi e condizioni di cornice che è qui oggetto di discussione è stata spiegata nella sezione precedente. Quando S è una lista di assiomi e F(S) è il corrispondente insieme di condizioni di cornice, allora S corrisponde a F(S) esattamente quando il sistema K+S è adeguato (corretto e completo) per la validità di F(S), cioè un argomento è dimostrabile in K+S sse è valido per F(S). Diverse nozioni più forti di corrispondenza tra assiomi e condizioni di cornice sono emerse nella ricerca sulla logica modale.

 

9. L’assioma generale

La corrispondenza tra assiomi e condizioni sulle cornici può sembrare un mistero. Un ottimo risultato di Lemmon e Scott (1977) spiega in gran parte queste relazioni. Il loro teorema riguardava assiomi che hanno la forma:

(G) ◊^h □^i A→□^j ◊^k A.

Usiamo la notazione “◊^n” per rappresentare n rombi in una fila, quindi, per esempio, “◊^3” abbrevia una stringa di tre rombi: “◊◊◊”. Allo stesso modo “□^n” rappresenta una stringa di n caselle. Quando i valori di h, i, j e k sono tutti 1, abbiamo l’assioma:

(C) ◊□A→□◊A=◊^1 □^1 A→□^1 ◊^1 A.

L’assioma (B) si ottiene fissando h e i a 0, e lasciando che j e k siano 1:

(B) A→□◊A=◊^0 □^0 A→□^1 ◊^1 A.

Per ottenere (4), possiamo fissare h e k a 0, i a 1, e j a 2:

(4) □A→□□A=◊^0 □^1 A→□^2 ◊^0 A

Molti (ma non tutti gli) assiomi della logica modale possono essere ottenuti fissando i valori giusti per i parametri in (G).

Il nostro prossimo compito sarà quella di dare la condizione sulle cornici che corrisponde a (G) per una data selezione di valori per h, i, jek. Per fare ciò, abbiamo bisogno di una definizione. La composizione di due relazioni R e R’ è una nuova relazione R∘R’ che è definita come segue:

wR∘R’v sse per qualche u, wRu e uR’v.

Per esempio, se R è la relazione di essere un fratello e R’ è la relazione di essere un genitore, allora R∘R’ è la relazione di essere uno zio (perché w è lo zio di v sse per qualche persona u, entrambi w è il fratello di u e u è il genitore di v). Una relazione può essere composta con sé stessa. Per esempio, quando R è la relazione di essere un genitore, allora R∘R è la relazione di essere un nonno e R∘R∘R è la relazione di essere un bisnonno. Sarà utile scrivere “R^n” per il risultato della composizione R con sé stesso n volte. Così R^2 è R∘R, e R^4 è R∘R∘R∘R. Lasceremo che R^1 sia R, e R^0 la relazione di identità, cioè wR^0 v sse w=v.

Possiamo ora enunciare il risultato di Scott-Lemmon. Esso afferma che la condizione sulle cornici che corrisponde esattamente a qualsiasi assioma della forma (G) è la seguente:

(hijk-Convergenza) wR^h v∧wR^j u⇒∃x(vR^i x∧uR^k x).

È interessante vedere come le condizioni familiari su R risultino dal fissare i valori di h, i, jek secondo i valori dell’assioma corrispondente. Per esempio, se consideriamo (5), vediamo in questo caso che i=0eh=j=k=1. Quindi, la condizione corrispondente è:

wRv∧wRu⇒∃x(vR^0 x∧uRx).

Abbiamo spiegato che R^0 è la relazione di identità. Quindi se vR^0 x allora v=x. Ma ∃x(v=x∧uRx), è equivalente a uRv, e così si ottiene la condizione euclidea:

(wRv∧wRu)⇒uRv.

Nel caso dell’assioma (4), vediamo che h=0, i=1, j=2ek=0. Quindi la corrispondente condizione sulle cornici è:

(w=v∧wR^2 u)⇒∃x(vRx∧u=x).

Se risolviamo le identità, questo equivale a:

vR^2 u⇒vRu.

Per la definizione di R^2, vR^2 u sse ∃x(vRx∧xRu). Quindi, si arriva a:

∃x(vRx∧xRu)⇒vRu,

che per la logica dei predicati è equivalente alla transitività:

vRx∧xRu⇒vRu.

Il lettore può trovare un esercizio piacevole nel vedere come le condizioni corrispondenti abbandonano la hijk-Convergence quando i valori dei parametri h, i, j e k sono fissati da altri assiomi.

I risultati di Scott-Lemmon forniscono un metodo rapido per stabilire risultati sulla relazione tra gli assiomi e le loro corrispondenti condizioni di cornici. Poiché loro hanno mostrato l’adeguatezza di qualsiasi logica che estende K con una selezione di assiomi della forma (G) rispetto ai modelli che soddisfano il corrispondente insieme di condizioni quadro, Scott e Lemmon hanno fornito dimostrazioni di adeguatezza “all’ingrosso” per la maggior parte dei sistemi della famiglia modale. Sahlqvist (1975) ha scoperto importanti generalizzazioni del risultato di Scott-Lemmon che coprono una gamma molto più ampia di tipi di assiomi.

Il lettore dovrebbe essere avvertito, tuttavia, che la corrispondenza precisa tra assiomi e condizioni sulle cornici è atipica. Ci sono condizioni sulle cornici che non corrispondono a nessun assioma, e ci sono anche condizioni sulle cornici per le quali nessun sistema è adeguato. (Per un esempio vedi Boolos, 1993, pp. 148 e seguenti.)

 

10. La semantica bidimensionale

La semantica bidimensionale è una variante della semantica dei mondi possibili che utilizza due (o più) tipi di parametri nella valutazione della verità, piuttosto che solo mondi possibili. Per esempio, una logica delle espressioni indicali, come “io”, “qui”, “ora” e simili, deve considerare il contesto (linguistico). Dato un contesto c=⟨s,p,t⟩, dove s è il parlante, p il luogo e t il tempo dell’enunciazione, allora “io” si riferisce a s, “qui” a p, e “ora” a t. Quindi, nel contesto c=⟨Giacomo Marchena, Milano, alle 15:00 CET del 4/3/2014⟩ “Sono qui ora” è V sse Giacomo Marchena è a Milano, alle 15:00 CET del 4/3/2014.

Nella semantica dei mondi possibili, il valore di verità di una frase dipendeva dal mondo in cui veniva valutata. Tuttavia, gli indicali introducono una seconda dimensione, quindi abbiamo bisogno di generalizzare di nuovo. Kaplan (1989) definisce il carattere di una frase B come una funzione dall’insieme dei contesti (linguistici) al contenuto (o intensione) di B, dove il contenuto, a sua volta, è semplicemente l’intensione di B, cioè una funzione dai mondi possibili ai valori di verità. Qui, la valutazione della verità è doppiamente dipendente, sia dai contesti linguistici sia dai mondi possibili.

Una delle osservazioni più interessanti di Kaplan è che alcune frasi indicale sono contingenti, ma allo stesso tempo analiticamente vere. Un esempio è (1).

(1) Io sono qui ora.

Solo dal significato delle parole, si può vedere che (1) deve essere vero in qualsiasi contesto c=⟨s,p,t⟩. Alla fine, c conta come contesto linguistico sse s è un parlante che si trova nel luogo p al tempo t. Quindi, (1) è vera in c, e ciò significa che la disposizione di valori di verità (1) lungo la dimensione del contesto deve essere tutto V (dato che il mondo possibile è tenuto fisso). Questo suggerisce che la dimensione del contesto è adatta a tracciare la conoscenza analitica ottenuta dalla padronanza del nostro linguaggio. D’altra parte, la dimensione dei mondi possibili tiene traccia di ciò che è necessario. Tenendo fisso il contesto, ci sono mondi possibili in cui (1) è falsa. Per esempio, quando c=⟨Giacomo Marchena, Milano, 15:00 CET del 4/3/2014⟩, (1) fallisce in c in un mondo possibile in cui Giacomo Marchena è a Roma alle 15:00 CET del 4/3/2014. Ne segue che “io sono qui ora” è una verità analitica contingente. Pertanto, la semantica bidimensionale può gestire situazioni in cui necessità e analiticità si separano.

Un altro esempio in cui portare due dimensioni è utile è nella logica di un futuro aperto (Thomason, 1984; Belnap, et al., 2001). Qui si impiega una struttura temporale in cui molte possibili storie future si estendono da un dato tempo. Si consideri:

(2) Giacomo ordinerà una battaglia navale domani.

Se (2) è contingente, allora c’è una storia possibile in cui la battaglia avviene il giorno dopo il momento della valutazione, e un’altra in cui non avviene allora. Quindi, per valutare (2) è necessario sapere due cose: qual è il tempo t di valutazione e quale delle storie h che attraversano t è quella da considerare. Quindi una frase in tale logica viene valutata in una coppia ⟨t,h⟩.

Un altro problema risolto dalla semantica bidimensionale è l’interazione tra “ora” e altre espressioni temporali come il futuro “avverrà che”. Allora è plausibile pensare che “ora” si riferisca al momento della valutazione. Quindi avremmo la seguente condizione di verità:
(Now) v(NowB,t)=V sse v(B,t)=V.

Tuttavia, questo non funzionerà per frasi come (3).

(3) In qualche momento del futuro, tutti quelli che ora vivono saranno sconosciuti.

Con F come operatore del tempo futuro, (3) potrebbe essere tradotto:

(3′) Fx(NowLxUx).

(La traduzione corretta non può essere ∀x(NowLxFUx), con una portata ristretta per F, perché (3) dice che c’è un tempo futuro in cui tutte le cose ora viventi sono sconosciute assieme, non che ogni essere vivente sarà sconosciuto in qualche tempo futuro suo proprio.) Quando le condizioni di verità per (3”) sono calcolate, usando (Now) e la condizione di verità (F) per F, risulta che (3’”) è vera al tempo u sse esiste un tempo t dopo u tale che tutto ciò che vive a t (non u) è sconosciuto in t.

(F) v(FB,t)=V sse per qualche tempo u dopo di t,v(B,u)=V.

Per valutare (3”) appropriatamente, in modo che corrisponda a ciò che intendiamo con (3), dobbiamo assicurarci che “ora” si riferisca sempre indietro al tempo originale dell’enunciazione quando “ora” si trova nella portata di altri operatori temporali come F. Perciò dobbiamo tenere traccia di quale tempo è il tempo dell’enunciazione (u) e quale tempo è il tempo di valutazione (t). Quindi, i nostri indici prendono la forma di una coppia ⟨u,e⟩, dove u è il tempo di enunciazione, ed e è il tempo di valutazione. Quindi la condizione di verità (Now) viene modificata a:

(2DNow) v(NowB,⟨u,e⟩)=V sse v(B,⟨u,u⟩)=V.

Questo sostiene che il NowB è vero al tempo u di enunciazione e al tempo e di valutazione a condizione che B sia vero quando u è considerato il tempo di valutazione. Quando le condizioni di verità per F, ∀e→ sono riviste nel modo ovvio (basta ignorare la u nella coppia), (3”) è vera a ⟨u,e⟩ a condizione che ci sia un tempo e’ dopo di e tale che tutto ciò che è vivo a u è sconosciuto a e’. Portando con noi una registrazione di ciò che u è durante il calcolo della verità, possiamo sempre fissare il valore di “ora” al tempo originale di enunciazione, anche quando “ora” è profondamente incassato in altri operatori temporali.

Un fenomeno simile si verifica nelle logiche modali con un operatore di attualità A (leggi “è attualmente vero che”). Per valutare (4) correttamente, abbiamo bisogno di tenere traccia di quale mondo è considerato come mondo attuale (o reale) e quale come mondo di valutazione.

(4) È possibile che tutti quelli che vivono attualmente siano sconosciuti.

L’idea di distinguere diverse dimensioni dei mondi possibili in semantica ha avuto utili applicazioni in filosofia. Per esempio, Chalmers (1996) ha presentato argomenti dalla concepibilità di (diciamo) gli zombie a conclusioni dualiste nella filosofia della mente. Chalmers (2006) ha utilizzato la semantica bidimensionale per aiutare a identificare un aspetto a priori del significato che sosterrebbe tali conclusioni.

L’idea è stata anche impiegata nella filosofia del linguaggio. Kripke (1980) ha notoriamente sostenuto che “l’acqua è H2O” è una verità a posteriori ma nondimeno necessaria, perché dato che l’acqua è semplicemente H20, non c’è nessun mondo possibile dove QUELLA cosa è (diciamo) un elemento di base come pensavano i greci. D’altro canto, c’è una forte intuizione che se il mondo reale fosse stato alquanto diverso da quello che è, il liquido inodore che cade dal cielo come pioggia, riempie i nostri laghi e fiumi, ecc. potrebbe benissimo essere stato un elemento. Quindi, in un certo senso, è concepibile che l’acqua non sia H20. La semantica bidimensionale fa spazio a queste intuizioni fornendo una dimensione separata che traccia una concezione dell’acqua che mette da parte la natura chimica di ciò che l’acqua è attualmente . Un tale resoconto a “contenuto ristretto” del significato di “acqua” può spiegare come si possa mostrare competenza semantica nell’uso di quel termine ed essere ciononostante ignoranti riguardo la chimica dell’acqua (Chalmers, 2002).

 

11. Le logiche della dimostrabilità

La logica modale è stata utile per chiarire la nostra comprensione di risultati centrali riguardanti la dimostrabilità nei fondamenti della matematica (Boolos, 1993). Le logiche della dimostrabilità sono sistemi in cui le variabili proposizionali p, q, r, ecc. denotano formule di qualche sistema matematico, per esempio, il sistema PA di Peano per l’aritmetica. (Il sistema scelto per la matematica può variare, ma supponiamo che sia PA per questa discussione.) Gödel ha mostrato che l’aritmetica ha forti poteri espressivi. Usando i numeri in codice per le frasi aritmetiche, ha potuto dimostrare una corrispondenza tra le frasi della matematica ed i fatti su quali frasi sono e non sono dimostrabili in PA. Per esempio, ha mostrato che c’è una frase C che è vera sse nessuna contraddizione è dimostrabile in PA e c’è una frase G (la famosa frase di Gödel) che è vera sse non sia dimostrabile in PA.

Nelle logiche della dimostrabilità, □p è interpretato come una formula (di aritmetica) che esprime che ciò che p denota è dimostrabile in PA. Usando questa notazione, le frasi della logica della dimostrabilità esprimono fatti sulla dimostrabilità. Supponiamo che ⊥ sia una costante della logica della dimostrabilità che denota una contraddizione. Allora ∼□⊥ dice che PA è consistente e □A→A dice che PA è corretto nel senso che quando dimostra A, A è effettivamente vero. Inoltre, la casella può essere iterata. Così, per esempio, □∼□⊥ fa la dubbia affermazione che PA può dimostrare la propria consistenza, e ∼□⊥→∼□∼□⊥ asserisce (giustamente, come ha dimostrato Gödel) che se PA è consistente allora PA non può dimostrare la propria consistenza.

Anche se le logiche della dimostrabilità formano una famiglia di sistemi correlati, il sistema GL è di gran lunga il più noto. Risulta dall’aggiungere a K l’assioma:

(GL) □(□A→A)→□A.

L’assioma (4), cioè □A→□□A, è dimostrabile in GL, e quindi, GL è infatti un rafforzamento di K4. Tuttavia, assiomi come (M), cioè □A→A, e anche il più debole (D), cioè □A→◊A, non sono disponibili (né desiderabili) in GL. Nella logica della dimostrabilità, la dimostrabilità non deve essere trattata come un tipo di necessità. Il motivo è che quando p è dimostrabile in un sistema arbitrario S per la matematica, non ne segue che p sia vero, poiché S può essere incorretto. Inoltre, se p è dimostrabile in S(□p), non è nemmeno necessario che segua che ∼p non possa essere dimostrato (∼□∼p=◊p). S potrebbe essere inconsistente e quindi dimostrare sia p e ∼p.

L’assioma (GL) cattura il contenuto del Teorema di Loeb, un importante risultato nei fondamenti dell’aritmetica. □A→A dice che PA è corretto per A, cioè che se A fosse dimostrato, A sarebbe vero. (Una tale affermazione potrebbe non essere sicura per un sistema S arbitrariamente selezionato, poiché A potrebbe essere dimostrabile in S e falso.) (GL) afferma che se PA riesce a dimostrare la frase che sostiene la correttezza per una data frase A, allora A è già dimostrabile in PA. Il Teorema di Loeb riporta una sorta di modestia da parte di PA (Boolos, 1993, p. 55). PA non insiste (dimostra) mai che da una dimostrazione di A segue la verità di A, a meno che non abbia già una dimostrazione di A a sostegno di tale affermazione.

È stato mostrato che GL è adeguato per la dimostrabilità nel seguente senso. Lasciamo che una frase di GL sia sempre dimostrabile esattamente quando la frase di aritmetica che denota è dimostrabile indipendentemente dal modo in cui alle sue variabili vengono assegnati valori alle frasi di PA. Allora, le frasi dimostrabili di GL sono esattamente le frasi che sono sempre dimostrabili. Questo risultato di adeguatezza è stato estremamente utile, poiché le domande generali riguardanti la dimostrabilità in PA possono essere trasformate in domande più semplici su ciò che può essere dimostrato in GL.

GL può anche essere dotato di una semantica dei mondi possibili per la quale è corretta e completa. Una condizione corrispondente alle cornici per la GL-validità è che la cornice sia transitiva, finita e irriflessiva.

 

12. La logica modale avanzata

Le applicazioni della logica modale alla matematica e all’informatica sono diventate sempre più importanti. La logica della dimostrabilità è solo un esempio di questa tendenza. Il termine “logica modale avanzata” si riferisce a una tradizione di ricerca sulla logica modale che è particolarmente ben rappresentata nei dipartimenti di matematica e di informatica. Questa tradizione è stata intessuta nella storia della logica modale fin dai suoi inizi (Goldblatt, 2006). La ricerca sulle relazioni con la topologia e le algebre rappresenta alcuni dei primissimi lavori tecnici sulla logica modale. Tuttavia, il termine “logica modale avanzata” si riferisce generalmente a una seconda ondata di lavori svolti a partire dalla metà degli anni ‘70. Alcuni esempi dei molti argomenti interessanti trattati includono risultati sulla decidibilità (se è possibile calcolare se una formula di una data logica modale è un teorema) e la complessità (i costi in termini di tempo e memoria necessari per calcolare tali fatti sulle logiche modali).

 

13. La bisimulazione

La bisimulazione fornisce un buon esempio delle fruttuose interazioni che sono state sviluppate tra la logica modale e l’informatica. In informatica, i sistemi a transizione di stati etichettati (LTS) sono comunemente usati per rappresentare i possibili percorsi di calcolo durante l’esecuzione di un programma. Gli LTS sono generalizzazioni delle cornici di Kripke, costituite da un insieme W di stati e una collezione di relazioni di i-accessibilità R_i, una per ogni processo informatico i. Intuitivamente, wR_i w’ vale esattamente quando w’ è uno stato che risulta dall’applicazione del processo i allo stato w.

Il linguaggio della logica polimodale o dinamica introduce una collezione di operatori modali □_i, uno per ogni programma i (Harel, 1984). Quindi, □_i A afferma che la frase A vale in ogni risultato dell’applicare i. Quindi, idee come la correttezza e la riuscita dei programmi possono essere espresse in questo linguaggio. I modelli per un tale linguaggio sono come i modelli di Kripke, salvo che le LTS sono usate al posto delle cornici. Una bisimulazione è una relazione di contropartita tra stati di due modelli di questo tipo tali che esattamente le stesse variabili proposizionali sono vere negli stati di contropartita, e ogni volta che il mondo v è i-accessibile da uno dei due stati di controparte, allora l’altra controparte porta la relazione di i-accessibilità a qualche controparte di v. In breve, la struttura di i-accessibilità che si può “vedere” da un dato stato imita ciò che si vede da una controparte. La bisimulazione è una nozione più debole dell’isomorfismo (una relazione di bisimulazione non deve necessariamente essere 1:1), ma è sufficiente per garantire l’equivalenza nell’elaborazione.

Negli anni ‘70, una versione della bisimulazione era già stata sviluppata dai logici modali per aiutare a capire meglio la relazione tra gli assiomi della logica modale e le loro corrispondenti condizioni sulle cornici di Kripke. La semantica di Kripke fornisce una base per tradurre gli assiomi modali in frasi di un linguaggio del secondo ordine in cui la quantificazione è consentita su lettere P di predicati unari: sostituire le metavariabili A con frasi aperte Px, tradurre □Px a ∀y(Rxy→Py), e chiudere le variabili libere x e i predicati P con quantificatori universali. Per esempio, la traduzione in logica dei predicati dello schema degli assiomi □A→A sarebbe ∀P∀x[∀y(Rxy→Py)→Px]. Data questa traduzione, si può istanziare la variabile P ad un predicato unario arbitrario, per esempio, al predicato Rx, la cui estensione è l’insieme di tutti i mondi w tali che Rxw per un dato valore di x. Allora, si ottiene ∀x[∀y(Rxy→Rxy)→Rxx], che si riduce a ∀xRxx, poiché ∀y(Rxy→Rxy) è una tautologia. Questo illumina la corrispondenza tra □A→A e la riflessività delle cornici (∀xRxx). Risultati simili valgono per molti altri assiomi e condizioni di cornice. Il “collasso” delle condizioni di assioma del secondo ordine alle condizioni di cornice del primo ordine è molto utile per ottenere risultati di completezza per le logiche modali. Per esempio, questa è l’idea centrale dietro gli eleganti risultati di Sahlqvist (1975).

Ma quando la traduzione del secondo ordine di un assioma si riduce a una condizione del primo ordine su R in questo modo? Negli anni “70, van Benthem ha mostrato che ciò accade sse dalla proprietà della traduzione in un modello segue la sua proprietà in qualsiasi modello bisimulare, dove due modelli sono bisimulari sse c’è una bisimulazione tra loro nel caso speciale in cui c’è una sola relazione di accessibilità. Quel risultato si generalizza facilmente al caso polimodale (Blackburn et al., 2001, p. 103), il che suggerisce che la logica polimodale si trova esattamente al giusto livello di astrazione per poter descrivere e ragionare sulla computazione e su altri processi. (Alla fine, ciò che conta veramente è la preservazione dei valori di verità delle formule in modelli piuttosto che i dettagli più fini delle strutture di cornice.) Inoltre, la traduzione implicita di queste logiche in ben comprensibili frammenti di logica dei predicati fornisce una ricchezza di informazioni di interesse per gli scienziati informatici. Di conseguenza, si è sviluppata una fruttuosa area di ricerca in informatica con la bisimulazione come idea centrale (Ponse et al. 1995).

 

14. La logica modale e i giochi

L’interazione tra la teoria dei giochi e la logica modale è una nuova e fiorente area di ricerca (van der Hoek e Pauly, 2007; van Benthem, 2011, cap. 10, e 2014). Questo lavoro ha interessanti applicazioni per comprendere la cooperazione e la competizione tra agenti quando le informazioni a loro disposizione si sviluppano.

Il Dilemma del Prigioniero illustra alcuni dei concetti della teoria dei giochi che possono essere analizzati usando le logiche modali. Immaginate due giocatori che scelgono di cooperare o di imbrogliare. Se entrambi cooperano, entrambi ottengono una ricompensa di 3 punti, se entrambi imbrogliano, entrambi non ottengono nulla, e, se uno coopera e l’altro imbroglia, l’imbroglione se la cava con 5 punti e il cooperatore non ottiene nulla. Se entrambi i giocatori sono altruisti e motivati a massimizzare la somma delle loro ricompense, coopereranno entrambi, poiché questo è il meglio che possono fare insieme. Tuttavia, entrambi sono tentati di imbrogliare per aumentare la propria ricompensa da 3 a 5. D’altra parte, se sono razionali, possono riconoscere che, se imbrogliano, il loro avversario può anche imbrogliare e lasciarli con niente. Quindi, la cooperazione è il meglio che si possa fare data questa minaccia. E se ognuno pensa che l’altro se ne renda conto, può essere motivato a cooperare. Una versione estesa (o iterata) di questo gioco dà ai giocatori mosse multiple, cioè opportunità ripetute di giocare e raccogliere ricompense. Se i giocatori hanno informazioni sulla storia delle mosse e sui loro risultati, entrano in gioco nuove preoccupazioni, poiché il successo nel gioco dipende dalla conoscenza della strategia dell’avversario, e dal determinare (per esempio) quando ci si può fidare che non imbrogli. Nelle versioni multigiocatore del gioco, in cui i giocatori sono estratti a coppie da un gruppo più ampio ad ogni mossa, la propria strategia migliore può dipendere dalla capacità di riconoscere i propri avversari e le strategie che hanno adottato. (Vedere Grim et. al., 1998 per un’affascinante ricerca sui Dilemmi del Prigioniero Iterato.)

In giochi come gli scacchi, i giocatori fanno le loro mosse a turno e i loro avversari possono vedere le mosse fatte. Se adottiamo la convenzione che i giocatori in un gioco fanno le loro mosse a turno, allora il Dilemma del Prigioniero Iterato è un gioco con informazioni mancanti sullo stato del gioco – il giocatore con il secondo turno non ha informazioni su quale sia stata l’ultima mossa dell’altro giocatore. Questo illustra l’interesse dei giochi con informazioni imperfette.

L’applicazione dei giochi alla logica ha una lunga storia. Un’applicazione influente con importanti implicazioni per la linguistica è la Semantica della Teoria dei Giochi (GTS) (Hintikka et. al. 1983), dove la validità è definita dal risultato di un gioco tra due giocatori: uno che cerca di verificare e l’altro di falsificare una data formula. La GTS ha risorse significativamente più forti della semantica standard in stile Tarski, poiché può essere usata (per esempio) per spiegare come il significato si evolve in un discorso (una sequenza di frasi).
Tuttavia, il lavoro sui giochi e la logica modale che verrà descritto qui è piuttosto diverso. Invece di usare i giochi per analizzare la semantica di una logica, le logiche modali in questione sono usate per analizzare i giochi. La struttura dei giochi e del loro modo di giocare è molto ricca, poiché coinvolge la natura del gioco stesso (le mosse permesse e le ricompense per i risultati), le strategie (che sono sequenze di mosse nel tempo) e il flusso di informazioni disponibili per i giocatori mentre il gioco procede. Pertanto, lo sviluppo della logica modale per i giochi si basa su caratteristiche che si trovano nelle logiche che coinvolgono concetti come il tempo, l’agenzia, la preferenza, gli obiettivi, la conoscenza, la credenza e la cooperazione.

Per fornire qualche accenno a questa varietà, ecco una descrizione limitata di alcuni degli operatori modali che compaiono nell’analisi dei giochi e alcune delle cose che possono essere espresse con essi. L’idea di base nella semantica è che un gioco consiste in un insieme di giocatori 1, 2, 3, … e un insieme W di stati di gioco. Per ogni giocatore i, esiste una relazione di accessibilità R_i intesa in modo che sR_i t vale per gli stati s e t sse quando il gioco è arrivato allo stato s, il giocatore i ha la possibilità di fare una mossa che risulta in t. Questa collezione di relazioni definisce un albero i cui rami definiscono ogni possibile sequenza di mosse nel gioco. La semantica assegna anche valori di verità agli atomi che tengono traccia delle ricompense. Così, per esempio, in un gioco come gli scacchi, ci potrebbe essere un atomo 〖win〗_i tale che v(〖win〗_i,s)=V sse lo stato s è una vittoria per il giocatore i. Gli operatori modali □_i e ◊_i, per ogni giocatore i, possono essere definiti come segue:

v(□_i A,s)=V sse per ogni t in W, se sR_i t, allora v(A,t)=V,
v(◊_i A,s)=V sse per qualche t in W, sR_i t e v(A,t)=V.

Quindi □_i A(◊_i A) è vero in s a condizione che la frase A sia vera in ogni (qualche) stato che i può scegliere dallo stato s. Dato che ⊥ è una contraddizione (quindi ∼⊥ è una tautologia), ◊_i∼⊥ è vero in uno stato quando è il turno de i di fare sua mossa. Per un gioco a due giocatori □_1⊥∧□_2⊥ è vero in uno stato che termina il gioco, perché né 1 né 2 possono muovere. □_1 ◊_2 〖win〗_2 asserisce che il giocatore 1 ha una perdita perché qualunque cosa faccia 1 dallo stato attuale, 2 può vincere nella mossa seguente.

Per un resoconto più generale delle ricompense del giocatore, le relazioni d’ordine ≤_i può essere definita sugli stati in modo che s≤_i t significa che la ricompensa di i per t è almeno pari a quello per s. Un’altra generalizzazione è quella di esprimere fatti su sequenze q di mosse, introducendo operatori interpretati da relazioni sR_q t che indicano che la sequenza q partendo da s alla fine arriva a t. Con queste e relative risorse, è possibile esprimere (per esempio) che q è la migliore strategia di i data la situazione attuale.

È cruciale per l’analisi dei giochi avere un modo per esprimere le informazioni disponibili ai giocatori. Un modo per realizzare questo è prendere in prestito idee dalla logica epistemica. Qui possiamo introdurre una relazione di accessibilità ∼_i per ogni giocatore tale che s∼_i t vale sse i non può distinguere tra gli stati s e t. Allora, gli operatori di conoscenza K_i per i giocatori possono essere definiti in modo che K_i A dica a s che A vale in tutti i mondi che i può distinguere da s; cioè, nonostante l’ignoranza di i sullo stato del gioco, può ancora fidarsi del fatto che A. Gli operatori K possono essere usati per dire che il giocatore 1 è può arrendersi, perché sa che 2 vede che ha la vittoria in pugno: K_1 K_2 □_1 ◊_2 〖win〗_2.

Poiché le informazioni del giocatore variano man mano che il gioco procede, è utile pensare alle mosse del gioco come indicizzate dai tempi, e introdurre gli operatori O e U dalla logica temporale per “seguente” e “finché”. Quindi K_i OA→OK_i A esprime che il giocatore i ha una “memoria perfetta”, cioè che quando i sa che A accadrà dopo, allora nel momento successivo i non ha dimenticato che A è successo. Questo illustra come le logiche modali per i giochi possono riflettere idealizzazioni cognitive e la capacità (o l’incapacità) di un giocatore di esserne all’altezza.

Il lato tecnico delle logiche modali per i giochi è impegnativo. Il progetto di identificare sistemi di regole che siano corretti e completi per un linguaggio che contiene una grande collezione di operatori può essere guidato da ricerche passate, ma le interazioni tra la varietà di relazioni di accessibilità porta a nuove preoccupazioni. Inoltre, la complessità computazionale dei vari sistemi e dei loro frammenti è un ampio panorama in gran parte inesplorato.

I concetti della teoria dei giochi possono essere applicati in una sorprendente varietà di modi – dalla verifica della validità di un argomento al successo nell’arena politica. Quindi ci sono forti motivazioni per formulare logiche che possano gestire i giochi. Ciò che colpisce di questa ricerca è il potere che si ottiene intrecciando le logiche del tempo, dell’agenzia, della conoscenza, della credenza e della preferenza in un contesto unificato. Le lezioni apprese da questa integrazione hanno un valore che va ben oltre il loro contributo alla comprensione dei giochi.

 

15. I quantificatori nella logica modale

Sembrerebbe una cosa semplice equipaggiare una logica modale con i quantificatori ∀ (ogni) e ∃ (qualche). Si dovrebbero semplicemente aggiungere le regole standard (o classiche) per i quantificatori ai principi di qualsiasi logica modale proposizionale si scelga. Tuttavia, aggiungere i quantificatori alla logica modale comporta una serie di difficoltà. Alcune di queste sono filosofiche. Per esempio, Quine (1953) ha notoriamente sostenuto che quantificare in contesti modali è semplicemente incoerente, un punto di vista che ha generato una gigantesca letteratura. Le opposizioni di Quine non hanno più il peso che avevano una volta. Si veda Barcan (1990) per un buon riassunto, e si noti Kripke (2017) (scritto negli anni ‘60 per un corso con Quine) che fornisce un forte argomento formale per cui non ci può essere nulla di sbagliato nel “quantificare in”.

Un secondo tipo di complicazione è tecnica. C’è una grande varietà nelle scelte che si possono fare nella semantica per la logica modale quantificata, e la dimostrazione che un sistema di regole è appropriato per una data scelta può essere difficile. Il lavoro di Corsi (2002) e Garson (2005) tenta di portare unità in questo terreno, e Johannesson (2018) introduce limiti che aiutano a ridurre il numero di opzioni; tuttavia, la situazione rimane ancora impegnativa.

Un’altra complicazione è che alcuni logici credono che la modalità richieda l’abbandono delle classiche regole del quantificatore in favore delle regole più deboli della logica libera (Garson 2001). I principali punti di disaccordo riguardanti le regole dei quantificatori possono essere ricondotti alle decisioni su come gestire il dominio della quantificazione. L’alternativa più semplice, l’approccio a dominio fisso (talvolta chiamato possibilista), assume un singolo dominio di quantificazione che contiene tutti gli oggetti possibili. D’altra parte, l’interpretazione relativa al mondo (o attualista), assume che il dominio di quantificazione cambi da mondo a mondo e contiene solo gli oggetti che esistono attualmente in un dato mondo.

L’approccio a dominio fisso non richiede grandi aggiustamenti alla macchina classica per i quantificatori. Le logiche modali che sono adeguate per la semantica a dominio fisso possono di solito essere assiomatizzate aggiungendo i principi di una logica modale proposizionale alle regole classiche dei quantificatori assieme alla formula di Barcan (1946):

(BF) ∀x□A→□∀xA.

(Per un resoconto di alcune interessanti eccezioni si veda Cresswell (1995).) L’interpretazione a dominio fisso presenta vantaggi di semplicità e familiarità, ma non fornisce un resoconto diretto della semantica di certe espressioni quantificatrici del linguaggio naturale. Non pensiamo che “Esiste qualche uomo che ha firmato la Dichiarazione d’Indipendenza” sia vero, almeno non se leggiamo “esiste” nel tempo presente. Tuttavia, questa frase era vera nel 1777, il che mostra che il dominio per l’espressione del linguaggio naturale “esiste qualche uomo che” cambia per riflettere quali uomini esistono in tempi diversi. Un problema correlato è che nell’interpretazione a dominio fisso, la frase ∀y□∃x(x=y) è valida. Supponendo che ∃x(x=y) sia letto: y esiste, ∀y□∃x(x=y) dice che tutto esiste necessariamente. Tuttavia, sembra una caratteristica fondamentale delle idee comuni sulla modalità che l’esistenza di molte cose è contingente, e che diversi oggetti esistono in diversi mondi possibili.

Il difensore dell’interpretazione del dominio fisso può rispondere a queste obiezioni insistendo sul fatto che nella sua lettura dei quantificatori, il dominio della quantificazione contiene tutti gli oggetti possibili, non solo gli oggetti che esistono in un dato mondo. Così il teorema ∀y□∃x(x=y) fa l’innocua affermazione che ogni oggetto possibile si trova necessariamente nel dominio di tutti gli oggetti possibili. Inoltre, quelle espressioni quantificatrici del linguaggio naturale il cui dominio dipende dal mondo (o dal tempo) possono essere espresse usando il quantificatore a dominio fisso ∃x e un predicato lettera E con la lettura “esiste attualmente”. Per esempio, invece di tradurre “Esiste qualche Uomo che ha Firmato la Dichiarazione d’Indipendenza” con:

∃x(Ux∧Fx),

il difensore dei domini fissi può scrivere:

∃x(Ex∧Ux∧Fx),

assicurando così che la traduzione sia considerata falsa al momento attuale. Cresswell (1991) fa l’interessante osservazione che la quantificazione relativa al mondo ha un potere espressivo limitato rispetto alla quantificazione a dominio fisso. La quantificazione relativa al mondo può essere definita con quantificatori a dominio fisso e E, ma non c’è modo di esprimere completamente i quantificatori a dominio fisso con quelli relativi al mondo. Sebbene questo deponga a favore dell’approccio classico alla logica modale quantificata, la tattica di traduzione equivale parzialmente anche ad una concessione a favore della logica libera, perché i quantificatori relativi al mondo così definiti obbediscono esattamente alle regole della logica libera.

Un problema con la strategia di traduzione usata dai difensori della quantificazione a dominio fisso è che rendere l’italiano (ed altre lingue naturali) in logica è meno diretto, poiché E deve essere aggiunto a tutte le traduzioni di tutte le frasi le cui espressioni quantificatrici hanno domini che sono dipendenti dal contesto. Un’obiezione più seria alla quantificazione a dominio fisso è che essa spoglia il quantificatore di un ruolo che Quine raccomandava per esso, cioè registrare un robusto impegno ontologico. Da questo punto di vista, il dominio di ∃x deve contenere solo entità che siano ontologicamente rispettabili e gli oggetti possibili sono troppo astratti per essere inclusi. Attualisti di questo tipo vorranno sviluppare la logica di un quantificatore ∃x che rifletta l’impegno verso ciò che è attuale in un dato mondo piuttosto che verso ciò che è semplicemente possibile.

Tuttavia, alcuni lavori sull’attualismo (Menzel, 1990) tendono a sminuire questa obiezione. Per esempio, Linsky e Zalta (1994) e Williamson (2013) sostengono che al quantificatore a dominio fisso può essere data un’interpretazione che è perfettamente accettabile per gli attualisti. Pavone (2018) sostiene addirittura che nell’interpretazione ecceitista, che quantifica su singole essenze, sono necessari domini fissi. Gli attualisti che impiegano la semantica dei mondi possibili quantificano abitualmente sui mondi possibili nella loro teoria semantica del linguaggio. Così sembrerebbe che i mondi possibili siano attuali secondo questi attualisti. Popolando il dominio con entità astratte non più discutibili dei mondi possibili, gli attualisti possono rivendicare la Formula di Barcan e i principi classici.
Si noti, tuttavia, che alcuni attualisti possono rispondere che non hanno bisogno di essere impegnati nell’attualità dei mondi possibili finché si capisce che i quantificatori usati nella loro teoria del linguaggio non hanno una forte portata ontologica. Inoltre, Hayaki (2006) sostiene che quantificare su entità astratte è attualmente incompatibile con qualsiasi forma seria di attualismo. In ogni caso, gli attualisti (e anche ai non-attualisti) possono indagare la logica dei quantificatori con domini più robusti, per esempio domini che escludono i mondi possibili e altre entità astratte, e che contengono solo i particolari spazio-temporali che si trovano in un dato mondo. Per quantificatori di questo tipo, sono appropriati i domini relativi al mondo.

Tali considerazioni motivano l’interesse in sistemi che riconoscono la dipendenza dal contesto della quantificazione introducendo domini relativi al mondo. Qui, ogni mondo possibile ha il proprio dominio di quantificazione (l’insieme degli oggetti che esistono attualmente in quel mondo), e i domini variano da un mondo all’altro. Quando si prende questa decisione, sorge una difficoltà per la teoria classica della quantificazione. Si noti che la frase ∃x(x=t) è un teorema della logica classica, e quindi □∃x(x=t) è un teorema di K per la Regola di necessitazione. Sia il termine t a indicare Saul Kripke. Allora questo teorema dice che è necessario che Saul Kripke esista, in modo che sia nel dominio di ogni mondo possibile. L’intera motivazione dell’approccio relativo al mondo era di riflettere l’idea che gli oggetti in un mondo possono non esistere in un altro. Se si usano le regole standard dei quantificatori, tuttavia, ogni termine t deve riferirsi a qualcosa che esiste in tutti i mondi possibili. Questo sembra incompatibile con la nostra pratica ordinaria di usare i termini per riferirsi a cose che esistono solo contingentemente.

Una risposta a questa difficoltà è semplicemente eliminare i termini. Kripke (1963) dà un esempio di un sistema che usa l’interpretazione relativa al mondo e preserva le regole classiche. Tuttavia, i costi sono molto alti. Primo, il suo linguaggio è artificialmente impoverito, e secondo, le regole per la logica modale proposizionale devono essere indebolite.

Supponendo che si voglia un linguaggio che includa i termini, e che si vogliano aggiungere le regole classiche ai sistemi standard di logica modale proposizionale, sorge un nuovo problema. In un tale sistema, è possibile dimostrare il contrario della formula di Barcan, cioè:

(CBF) □∀xA→∀x□A.

Questo fatto ha serie conseguenze per la semantica del sistema. Non è difficile mostrare che ogni modello relativo al mondo di (CBF) deve soddisfare la condizione (ND) (per “nested domains”, domini nidificati).

(DN) Se wRv, allora il dominio di w è un sottoinsieme del dominio di v.

Tuttavia, (ND) è in conflitto con il motivo di introdurre dei domini relativi al mondo. L’intera idea era che l’esistenza degli oggetti è contingente, così che ci sono mondi possibili accessibili in cui una delle cose del nostro mondo non esiste.

Una soluzione semplice a questi problemi è quella di abbandonare le regole classiche per i quantificatori e adottare invece le regole della logica libera (FL). Le regole della FL sono le stesse delle regole classiche, tranne che le inferenze da ∀xRx (tutto è reale) a Rp (Pegasus è reale) sono bloccate. Questo viene fatto introducendo un predicato “E” (per “esiste attualmente”) e modificando la regola dell’istanziazione universale. Da ∀xRx, si può ottenere Rp solo se si è ottenuto anche Ep. Supponendo che il quantificatore universale ∀x sia primitivo e che il quantificatore esistenziale ∃x sia definito da ∃xA≝∼∀x∼A, allora FL può essere costruito aggiungendo alle regole della logica proposizionale i seguenti due principi:

Generalizzazione universale: Se B→(Ey→A(y)) è un teorema, lo è anche B→∀xA(x),
Istanziazione universale: ∀xA(x)→(En→A(n)).

(Qui si assume che A(x) sia una qualsiasi formula ben formata della logica dei predicati e che A(y) e A(n) risultino dalla sostituzione di y e n appropriatamente per ogni occorrenza di x in A(x).) Si noti che l’assioma di istanziazione è limitato dalla menzione di En nell’antecedente. La regola della Generalizzazione Universale è modificata nello stesso modo. In FL, le dimostrazioni di formule come ∃x□(x=t), ∀y□∃x(x=y), (CBF) e (BF), che sembrano incompatibili con l’interpretazione relativa al mondo, sono bloccate.

Un’obiezione filosofica a FL è che E sembra essere un predicato di esistenza, e molti sosterrebbero che l’esistenza non è una proprietà legittima come essere verde o pesare più di quattro chili. Così i filosofi che rifiutano l’idea che l’esistenza sia un predicato possono obiettare a FL. Tuttavia, nella maggior parte (ma non in tutte) le logiche modali quantificate che includono l’identità (), queste preoccupazioni possono essere evitate definendo E così:

Et≝∃x(x=t).

Il modo più generale di formulare la logica modale quantificata è quello di creare FS aggiungendo le regole di FL a una data logica modale proposizionale S. In situazioni in cui si desidera la quantificazione classica, si può semplicemente aggiungere Et come assioma a FS, in modo che i principi classici diventino regole derivabili. Risultati di adeguatezza per tali sistemi possono essere ottenuti per la maggior parte di scelte di logica modale S, ma ci sono eccezioni.

Un’ultima complicazione nella semantica della logica modale quantificata è degna di nota. Sorge quando si introducono nel linguaggio espressioni non rigide come “l’inventore delle lenti bifocali”. Un termine è non rigido quando seleziona diversi oggetti in diversi mondi possibili. Il valore semantico di un tale termine può essere dato da ciò che Carnap (1947) ha chiamato un concetto individuale, una funzione che sceglie la denotazione del termine per ogni mondo possibile. Un approccio per trattare i termini non rigidi è quello di impiegare la teoria delle descrizioni di Russell. Tuttavia, in un linguaggio che tratta le espressioni non rigide come termini genuini, si scopre che né le regole della logica classica né quelle della logica libera per i quantificatori sono accettabili. (Il problema non può essere risolto indebolendo la regola di sostituzione per l’identità.) Una soluzione a questo problema è di impiegare un trattamento più generale dei quantificatori, dove il dominio della quantificazione contiene concetti individuali piuttosto che oggetti. Questa interpretazione più generale fornisce una migliore corrispondenza tra il trattamento dei termini e il trattamento dei quantificatori e risulta in sistemi che sono adeguati per regole logiche classiche o libere (a seconda che si scelgano i domini fissi o i domini relativi al mondo). Fornisce anche un linguaggio con forti e (molto necessari) poteri espressivi (Bressan, 1973, Belnap e Müller, 2013a, 2013b).

 

Bibliografia

Testi sulla logica modale pensati per i filosofi includono Hughes e Cresswell (1968, 1984, 1996), Chellas (1980), Fitting e Mendelsohn (1998), Garson (2013), Girle (2009) e Humberstone (2015).

Humberstone (2015) fornisce una superba guida alla letteratura sulle logiche modali e le loro applicazioni alla filosofia. La bibliografia (di oltre mille voci) fornisce una risorsa inestimabile per tutti i principali argomenti, comprese le logiche di tempo, obbligo, credenza, conoscenza, agenzia e necessità nomica.

Gabbay e Guenthner (2001) forniscono utili articoli riassuntivi sugli argomenti principali, mentre Blackburn et. al. (2007) è una risorsa inestimabile da una prospettiva più avanzata.

Un’eccellente bibliografia di fonti storiche si trova in Hughes e Cresswell (1968).

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Strumenti accademici

Altre risorse Internet

Progressi in logica modale
Lista di risorse da Wikipedia
Manuale di logica modale di Blackburn, Bentham e Wolter
Pagina di Logica Modale di John McCarthy

Voci correlate

attualismo | logica, storia della: logica modale | logica: classica | logica: deontica | logica: libera | logica: provabilità | logica: rilevanza | logica: temporale | mondi possibili

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