Viaggio nel tempo e fisica moderna

Traduzione di Antonio La Piana e Richard Magnano.

Revisione di Luca Gasparinetti, pagina di Frank Arntzenius e Tim Maudlin.

Versione Inverno 2013.

Il viaggio nel tempo è stato un punto fermo della fantascienza. Con l’avvento della relatività generale esso ha suscitato l’interesse di grandi fisici. Ma, specialmente nella letteratura filosofica, ci sono stati argomenti secondo i quali il viaggio nel tempo è intrinsecamente paradossale. Il paradosso più famoso è quello del nonno: torni indietro nel tempo ed uccidi tuo nonno, impedendo, in tal modo, la tua stessa esistenza. Al fine di evitare incoerenza dovranno verificarsi alcune circostanze che vanificheranno questo tentativo di uccidere tuo nonno. Ciò non implica forse l’esistenza di qualche vincolo implausibile a circostanze altrimenti non correlate? Esamineremo tali dubbi nel contesto della fisica moderna.

1. Un suicidio fallito
2. Perché i suicidi nel viaggio nel tempo falliscono?
3. Topologia e vincoli
4. La possibilità generale del viaggio nel tempo nella relatività generale
5. Due modelli giocattolo
6. Osservazioni e limiti dei modelli giocattolo
7. Modelli leggermente più realistici del viaggio nel tempo
8. E anche se ci fossero vincoli?
9. Meccanica quantistica alla riscossa?
10. Conclusioni
11. Bibliografia
12. Strumenti accademici
13. Altre risorse su Internet
14. Voci correlate

1.Un suicidio fallito

Sei veramente depresso. Un depresso suicida. Hai un’arma. Ma non hai abbastanza coraggio da puntartela contro e farla finita in questo modo. Se solo qualcun altro ti potesse uccidere, sarebbe meglio. Ma non puoi realmente chiedere a qualcuno di ucciderti. Non sarebbe giusto. Decidi che se rimarrai ancora depresso e troverai una macchina del tempo, viaggerai indietro nel tempo fino a questo momento, e ucciderai il tuo te stesso del passato. Sarebbe ottimo. In questo modo ti libereresti persino del tempo deprimente che trascorrerai tra ora e quando entrerai in quella macchina del tempo. Inizi a riflettere sulla coerenza di quest’idea, quando qualcosa di incredibile accade. Vedi improvvisamente dal nulla qualcuno procedere verso di te con un’arma che ti punta contro. In effetti ti somiglia molto, a eccezione del fatto quel qualcuno sta sanguinando gravemente dall’occhio sinistro e che riesce a malapena a stare in piedi. Sei in pace. Guardi dritto di fronte a lui, con calma. Lui spara. Senti un dolore penetrante al tuo occhio sinistro. La tua mente è nel caos, barcolli ed entri accidentalmente in un cubicolo dall’aspetto strano. Perdi conoscenza. Dopo un po’ ti svegli, non riesci a dire per quanto tempo sei rimasto svenuto e barcolli fuori dal cubicolo. Vedi qualcuno in lontananza che ti fissa con calma. Realizzi che si tratta del tuo te stesso più giovane. Guarda dritto di fronte a te. Senti un terribile dolore. Devi porre fine a tutto questo, devi ucciderlo, ucciderlo veramente una volta per tutte. Gli spari, ma la tua vista è così pessima che non riesci a prendere bene la mira. Non lo uccidi, riesci a malapena a danneggiare il suo occhio sinistro. Egli barcolla. Cadi a terra in agonia, e decidi di studiare i paradossi riguardanti i viaggi nel tempo più seriamente.

2. Perché i suicidi nel viaggio nel tempo falliscono?

La preoccupazione base riguardo al viaggio nel tempo è che questo permette a un individuo di tornare indietro e di uccidere il suo sé stesso più giovane, generando in tal modo un paradosso. Più generalmente il viaggio nel tempo permette a oggetti o persone di tornare indietro e di causare eventi nel passato che sono contraddittori con ciò che di fatto è successo. (Vedi, per esempio, Gödel 1949, Earman 1972, Malament 1985a&b, Horwich 1987.) Una risposta irrevocabile a questa preoccupazione è che secondo la logica, infatti, eventi contraddittori non possono accadere insieme. Quindi, in effetti, tutti questi schemi per creare il paradosso sono logicamente destinati a fallire. Allora qual è la preoccupazione?

Ebbene, una preoccupazione è la domanda riguardante il perché schemi del genere sono destinati sempre a fallire. La necessità di tali fallimenti non pone prima facie vincoli insoliti e inaspettati alle azioni di persone, o oggetti, che hanno viaggiato nel tempo? Non abbiamo forse una buona ragione per credere che non vi siano tali vincoli (nel nostro mondo) e che quindi non vi sia alcun viaggio nel tempo (nel nostro mondo)? Torneremo più in là sulla questione dell’appetibilità di tali vincoli, ma prima vogliamo discutere un argomento secondo cui non vi sono vincoli imposti dal viaggio nel tempo.

3. Topologia e vincoli

Wheeler e Feynman (1949) furono i primi a sostenere che a partire dall’aspetto continuo della natura si possa affermare che le influenze causali da eventi futuri su eventi passati, rese possibili dal viaggio del tempo, non portino al paradosso senza la necessità di alcun vincolo. Maudlin (1990) mostrò come rendere il loro argomento preciso e più generale, e assunse che, ciò nonostante, lo stesso non era completamente generale.

Immaginiamo la seguente situazione. Iniziamo con una fotocamera con una pellicola in bianco e nero pronta a scattare una foto di qualunque cosa esca dalla macchina del tempo. Un oggetto, di fatti una pellicola sviluppata, esce fuori dalla macchina del tempo. La fotografiamo e sviluppiamo la pellicola. La pellicola sviluppata viene successivamente messa nella macchina del tempo e impostata per uscirne nel momento in cui viene scattata la foto. Questo creerà sicuramente un paradosso: la pellicola sviluppata avrà la distribuzione opposta del nero, del bianco e delle sfumature di grigio, dall’oggetto che esce dalla macchina del tempo. Ciò perché le pellicole sviluppate in bianco e nero (cioè i negativi) hanno le sfumature di grigio opposte rispetto agli oggetti rappresentati nelle immagini. Ma dal momento che l’oggetto che viene fuori dalla macchina del tempo è la stessa pellicola sviluppata, abbiamo sicuramente un paradosso.

Tuttavia, non serve poi un così grande sforzo per comprendere che non v’è alcun paradosso qui. Ciò che accadrà è che una foto completamente grigia verrà fuori, la quale produrrà una pellicola sviluppata avente esattamente la stessa uniforme tonalità di grigio. Non importa quale sia la sensibilità della pellicola, fintanto che la luminosità della pellicola sviluppata dipende dalla luminosità dell’oggetto fotografato, vi sarà una sfumatura di grigio che, quando fotografata, sarà esattamente la stessa tonalità di grigio della pellicola sviluppata. Questa è l’essenza dell’idea di Wheeler e Feynman. Cerchiamo di essere prima un po’ più precisi e poi un po’ più generali.

Per semplificare, supponiamo che la pellicola sia sempre di una stessa tonalità di grigio (cioè in qualsiasi momento la tonalità di grigio non varia in base alla posizione sul film). Le possibili tonalità di grigio possono essere rappresentate dai numeri (reali) dallo 0, che rappresenta il nero puro, a 1, che rappresenta il bianco puro.

Distinguiamo adesso vari stadi nell’ordine cronologico della vita della pellicola. Allo stadio S₁ la pellicola è giovane; è appena stata inserita nella fotocamera ed è pronta per essere esposta. (Quell’oggetto è infatti uno stadio successivo della pellicola stessa). Quando arriviamo alla fase S₂ della vita della pellicola, è stata sviluppata e sta per entrare nella macchina del tempo. La fase S₃ si verifica subito dopo l’uscita dalla macchina del tempo e poco prima che la pellicola venga fotografata. La fase S₄ si verifica dopo essere stata fotografata e prima che la pellicola inizi a scomparire. Assumiamo che la stessa inizi nella fase S₁, in una qualche tonalità di grigio uniforme, e che l’unico cambiamento significativo nella tonalità di grigio della pellicola avvenga tra le fasi S₁ ed S₂. Durante quel periodo, la pellicola acquisisce una tonalità di grigio che dipende dalla tonalità di grigio dell’oggetto che è stato fotografato, e cioè, la tonalità di grigio che la pellicola acquisisce alla fase S₂ dipende dalla tonalità di grigio che la stessa acquisisce alla fase S₃. L’influenza della tonalità di grigio della pellicola alla fase S₃, sulla tonalità di grigio della stessa alla fase S₂, può essere rappresentata come una mappatura, o funzione, compresa tra i numeri reali tra 0 e 1 (inclusi), e numeri reali tra 0 e 1 (inclusi). Supponiamo che il processo della fotografia sia tale che se si immagina di variare la tonalità di grigio di un oggetto in modo uniforme e continuo, anche la tonalità di grigio dell’immagine sviluppata di quell’oggetto varierà in modo uniforme e continuo. Ciò implica che la funzione in questione sarà una funzione continua. Ora, qualsiasi funzione continua che va dai numeri reali compresi tra 0 e 1 (inclusi), ai numeri reali tra 0 e 1 (inclusi) deve mappare almeno un numero su sé stessa. Ci si potrebbe convincere facilmente di ciò, rappresentando graficamente tali funzioni. Si vedrà subito che qualsiasi funzione continua f da [0,1] a [0,1] deve intersecare la retta x=y da qualche parte, e quindi deve esserci almeno un punto x tale che f(x)=x. Tali punti sono detti punti fissi della funzione. Pensiamo adesso cosa possa rappresentare tale punto fisso. Esso rappresenta una sfumatura di grigio tale che, quando fotografata, produrrà una pellicola sviluppata con esattamente la stessa tonalità di grigio. L’esistenza di un tale punto fisso implica una soluzione all’apparente paradosso.

Cerchiamo ora di essere più generali e consideriamo la fotografia a colori. Si può rappresentare ogni possibile colore di un oggetto (di colore uniforme) dalle proporzioni di blu, verde e rosso che compongono quel colore. (Ecco perché gli schermi dei televisori riescono a riprodurre qualsiasi colore). Quindi si possono rappresentare tutti i colori possibili di un oggetto tramite tre punti su tre linee ortogonali x, y e z, cioè attraverso un punto in un cubo tridimensionale. Questo cubo è anche conosciuto come il ‘prodotto Cartesiano’ dei tre segmenti di linea. Ora, è possibile anche mostrare che qualsiasi mappa continua che procede da un tale cubo verso sé stesso deve avere almeno un punto fisso. Quindi nemmeno la fotografia a colori può essere usata per creare paradossi del viaggio nel tempo!

Ancora più in generale, si consideri un sistema P che, come nell’esempio precedente, ha la seguente vita. Inizia in uno stato S₁, interagisce con un oggetto che esce dalla macchina del tempo (che sembra essere la sua versione più vecchia), viaggia indietro nel tempo, interagisce con un oggetto (che sembra essere la sua versione più giovane), e infine cresce e poi muore. Assumiamo che l’insieme dei possibili stati di P possa essere rappresentato da un prodotto Cartesiano di n intervalli chiusi dei numeri reali, e cioè, assumiamo che la topologia dello spazio degli stati di P sia isomorfa a un prodotto cartesiano finito di intervalli chiusi dei numeri reali. Assumiamo inoltre che lo sviluppo di P nel tempo, e la dipendenza di tale sviluppo dallo stato degli oggetti con cui interagisce, sia continuo. Dunque, in virtù di un teorema ben conosciuto in topologia riguardante i punti fissi (vedi, ad esempio, Hocking e Young 1961, p- 273), non importa quale sia la natura dell’interazione, e non importa quale sia lo stato iniziale dell’oggetto, ci sarà almeno uno stato S₃ del sistema più vecchio (come emerge dalla macchina per il viaggio nel tempo) che influenzerà lo stato iniziale S₁ del sistema più giovane (quando questo incontra il sistema più vecchio) così che, quando il sistema più giovane diventa più vecchio, si sviluppa esattamente nello stato S₃. Dunque, senza imporre alcun vincolo allo stato iniziale del sistema P, abbiamo mostrato che vi saranno sempre soluzioni non paradossali, perfettamente ordinarie, in cui tutto ciò che accade, accade secondo le leggi usuali dello sviluppo. Certamente, c’è una causalità circolare (looped), quindi presumibilmente anche una spiegazione circolare, ma cosa vi aspettate se c’è circolarità temporale?

Sfortunatamente, per i fan del viaggio nel tempo, una piccola riflessione suggerisce che vi sono sistemi per i quali il teorema necessario sui punti fissi non regge. Immaginiamo, per esempio, di avere un quadrante che può ruotare solo su un piano e mettiamolo dentro la macchina del tempo. Infatti abbiamo deciso che se vediamo la fase successiva del quadrante uscire dalla macchina del tempo posta all’angolo x, allora imposteremo il quadrante a x+90, e lo getteremo nella macchina del tempo. Ora, sembra di trovarci di fronte ad un paradosso, dal momento che la mappatura che consiste in una rotazione di tutti i punti in uno spazio circolare degli stati di 90 gradi non ha un punto fisso. E perché alcuni spazi di stati non dovrebbero avere la topologia di un cerchio?

Tuttavia, finora non abbiamo considerato un’altra ipotesi di continuità, che è anch’essa un’ipotesi ragionevole. Fin qui abbiamo solo soddisfatto la seguente condizione: lo stato in cui il quadrante è allo stadio S₂ deve essere una funzione continua dello stato del quadrante allo stadio S₃. Ma, lo stato del quadrante allo stadio S₂ si ottiene facendo ruotare su un certo angolo lo stato del quadrante allo stadio S₁. Non si tratta solamente del fatto che l’effetto dell’interazione, ovvero lo stato del quadrante allo stadio S₂, debba essere una funzione continua della causa, ovvero lo stato del quadrante allo stadio S₃. Si tratta anche del fatto che il percorso intrapreso per arrivare lì, il modo in cui il quadrante viene ruotato tra gli stadi S₁ed S₂, deve essere una funzione continua dello stato allo stadio S₃. E, piuttosto sorprendentemente, si scopre che ciò non può essere ottenuto. Illustriamo il tipo di problema prima di procedere ad una dimostrazione ancora più generale del fatto che deve esserci la soluzione di un punto fisso al caso del quadrante.

Dimenticatevi del viaggio nel tempo per un momento. Supponiamo che tu e io abbiamo un orologio, ciascuno dei quali possiede un quadrante che non funziona. Il mio orologio è impostato alle 12. Tu stai per dire a che ora è impostato il tuo orologio. Il mio compito sarà impostare il mio orologio alla stessa ora del tuo a prescindere da quale orario dirai. E le mie azioni dovrebbero avere una dipendenza continua (a valore singolo) dal tempo che annunci. Sorprendentemente, ciò non è possibile! Per esempio, supponiamo che tu annunci ‘12’, allora io non dovrò fare nulla per impostare il mio orologio a quell’ora. Ora immagina di aumentare lentamente e continuamente i tempi annunciati, a partire dalle 12. Secondo continuità, devo ottenere ciascuna di queste impostazioni ruotando il quadrante verso destra. Se ad un certo punto cambio e raggiungo l’obiettivo annunciato ruotando il quadrante a sinistra, avrò introdotto una discontinuità nelle mie azioni, una discontinuità nelle azioni che intraprendo in funzione dell’angolo annunciato. Sarò dunque costretto, per la continuità, ad accordarmi ad ogni annuncio ruotando il quadrante verso destra. Ma, questa rotazione verso destra dovrà essere bruscamente interrotta man mano che gli annunci diventano più grandi e alla fine mi avvicino di nuovo alle 12, dal momento che ho raggiunto le 12 senza aver ruotato affatto il quadrante. Quindi, ci sarà una discontinuità più tardi alle 12. In generale, la continuità delle mie azioni in funzione dei tempi annunciati non può essere mantenuta per tutto il tempo se sono in grado di replicare tutte le impostazioni possibili. Un altro modo di vedere il problema, ragionando allo stesso modo, è il seguente: se si inizia con 12 e si immagina d’impostare continuamente e anticipatamente i tempi annunciati, si sarà costretti, per continuità, a raggiungere i tempi annunciati ruotando il quadrante a sinistra. Ma le conclusioni tratte dall’ipotesi di continui incrementi e l’ipotesi di continue diminuzioni sono inconsistenti. Dunque, abbiamo un’inconsistenza che deriva dall’ipotesi di continuità insieme con l’ipotesi che io riesca sempre a impostare il mio orologio in linea con il tuo. Quindi, un quadrante che si sviluppa secondo una dinamica continua da un dato stato iniziale, non può essere impostato in modo da reagire ad un secondo quadrante, con il quale il primo interagisce, ed in modo tale che sia garantito che finisca sempre alla stessa angolazione del secondo quadrante. Allo stesso modo, il primo quadrante non può essere impostato in modo tale da garantire che esso finisca sempre a 90 gradi rispetto all’impostazione del secondo quadrante. Tutto questo non ha nulla a che vedere con il viaggio nel tempo. Tuttavia, l’impossibilità di tali impostazioni è ciò che ci impedisce di attuare la rotazione di 90 gradi che creerebbe un paradosso nell’impostazione dei viaggi nel tempo.

Ipotizziamo adesso il risultato positivo per il quale con tali quadranti ci saranno sempre soluzioni a punto fisso, purché la dinamica sia continua. Chiamiamo lo stato del quadrante, prima che esso interagisca con la sua versione più vecchia, lo stato iniziale del quadrante. E chiamiamo lo stato del quadrante, dopo che questo è emerso dalla macchina del tempo, il suo stato finale. Possiamo rappresentare il possibile stato iniziale e gli stati finali del quadrante tramite gli angoli x e y che il quadrante può formare all’inizio e alla fine. L’insieme dei possibili stati iniziali più quelli finali forma quindi una toroide. (Vedi figura 1. sulla pagina originale)

Supponiamo che il quadrante inizi all’angolo I. L’angolo iniziale I nel quale il quadrante si trova prima che lo stesso incontri la sua versione più vecchia e l’insieme di tutti i possibili angoli finali che il quadrante può formare quando esce dalla macchina del tempo è rappresentato dal cerchio I sulla toroide (vedi figura 1). Data qualsiasi possibile angolazione del quadrante emergente, quello che inizialmente formava l’angolo I si svilupperà in un altro angolo. Si potrebbe immaginare questo sviluppo ruotando ciascun punto di su I in direzione orizzontale della quantità necessaria. Dal momento che la rotazione deve dipendere continuamente dall’angolo del quadrante emergente, l’anello I durante questo sviluppo si deformerà in un anello L sulla toroide. Il cerchio L dunque rappresenta l’angolo x che il quadrante forma quando lo stesso viene gettato nella macchina del tempo, dato che esso all’inizio ha formato l’angolo I e poi ha incontrato un quadrante (la sua versione più vecchia) che formava l’angolo y quando è emerso dalla macchina del tempo. Abbiamo quindi coerenza se x=y per alcuni x e y sul cerchio L. Ora, sia il ciclo C il ciclo che consiste di tutti i punti del toroide per i quali x=y. L’anello I interseca con C al punto <i,i>. Ovviamente ogni deformazione continua di I deve ancora intersecare con C da qualche parte. Dunque L deve intersecare C da qualche parte, diciamo al punto <j,j>. Ma ciò significa che non importa come lo sviluppo del quadrante a partire da I dipenda dall’angolo del quadrante emergente, vi sarà un angolo di quest’ultimo tale che formerà esattamente quell’angolo (quando entrerà nella macchina del tempo) sotto l’influenza di quel quadrante emergente. La situazione sarà questa a prescindere dall’angolo con il quale iniziamo, e a prescindere da come lo sviluppo dipenda dall’angolo del quadrante emergente. Quindi anche per uno spazio di stato circolare non sono necessari vincoli diversi dalla continuità.

Sfortunatamente vi sono spazi di stati che eludono persino quest’argomento. Si consideri ad esempio un puntatore che può essere impostato su tutti i valori compresi tra 0 e 1, dove 0 e 1 non sono valori possibili. Cioè, supponiamo di avere uno spazio di stato isomorfo a un insieme aperto di numeri reali. Ora, supponiamo di avere una macchina che imposta il puntatore a metà del valore cui è impostato il contatore quando esce fuori dalla macchina del tempo.

Supponiamo che il puntatore inizi con il valore I. Come nell’esempio precedente possiamo rappresentare la combinazione di questa posizione iniziale e tutte le possibili posizioni finali con linea I. Sotto l’influenza del puntatore che viene fuori dalla macchina del tempo il valore dello stesso cambierà in un valore equivalente alla metà del valore di quello finale che il puntatore ha incontrato. Possiamo rappresentare questo sviluppo come la deformazione continua della linea I nella linea L, la quale è indicata dalle frecce nella Figura 2. Questo sviluppo è pienamente continuo. I punti <x,y> sulla linea I rappresentano la posizione iniziale x=I del (giovane) puntatore, e la posizione y del puntatore più vecchio dopo essere emerso dalla macchina del tempo. I punti <x,y> sulla linea L rappresentano la posizione xche il puntatore più giovane dovrebbe assumere, dato che esso ha incontrato il puntatore più vecchio emerso dalla macchina del tempo impostato alla posizione y. Poiché il puntatore è progettato per indicare metà del valore del puntatore che incontra, la linea L corrisponde a x=1/2y. Il tutto risulterà consistente se avremo un punto tale che esso cambierà in quel punto, se incontrerà quel punto. Quindi l’esempio risulterà consistente se ci sarà un punto <x,y> sulla linea L tale che x=y. Tuttavia, un punto del genere non esiste: le linee L e C non intersecano. Quindi non esiste alcuna soluzione consistente, nonostante la dinamica sia pienamente continua. Di certo se 0 fosse un valore possibile, L e C intersecherebbero nel punto 0.  Ciò risulta sorprendente e strano: aggiungere un punto all’insieme dei valori possibili di una quantità fa la differenza tra paradosso e pace. Si potrebbe essere tentati di aggiungere il punto extra allo spazio di stato al fine di evitare problemi. Dopo tutto, si potrebbe dire, che di sicuro nessuna misurazione potrebbe mai dirci se l’insieme dei possibili valori includono il punto esatto o no. Sfortunatamente possono esserci buone ragioni teoretiche per supporre che una quantità possiede uno spazio di stato aperto: l’insieme di tutte le possibili velocità di oggetti massicci nella relatività speciale è sicuramente un insieme aperto, poiché include tutte le velocità, ma non quella della luce. Anche le quantità che hanno valori possibili che non sono limitati portano a controesempi dell’argomento del punto fisso presentato. E per noi non è ovvio il perché si dovrebbero escludere possibilità di questo tipo. Dunque, l’argomento per il quale nessun vincolo è necessario non è pienamente generale.Una domanda interessante è sicuramente la seguente: ‘esattamente, per quali spazi di stati devono esistere tali punti fissi?’. Ma non conosciamo la risposta generale. (Ma vedi Kutach 2003 per altro sulla questione.)

4. La possibilità generale del viaggio nel tempo nella relatività generale

Il viaggio nel tempo è stato recentemente discusso abbondantemente nel contesto della relatività generale. Esso può verificarsi nei modelli relativistici generali in cui si hanno curve temporali chiuse (CTC). Una curva temporale è semplicemente una traiettoria spazio-temporale tale che la velocità della luce non viene mai eguagliata o superata lungo questa traiettoria. Le curve temporali, quindi, rappresentano le possibili traiettorie di oggetti ordinari. Se esistessero curve temporali chiuse (che formano un loop), percorrendole non si supererebbe mai la velocità della luce, eppure dopo un certo periodo di tempo (corretto) si ritornerebbe in un punto nello spaziotempo già visitato. Oppure, rimanendo vicino a una tale CTC, si potrebbe arbitrariamente giungere in un punto nello spazio-tempo già visitato in precedenza. La relatività generale, in senso stretto, rende possibile il viaggio nel tempo: sembrano esserci molti spazio-tempo compatibili con le equazioni fondamentali della Relatività Generale in cui sono presenti le CTC. Lo spazio-tempo, ad esempio, potrebbe avere una metrica di Minkowski ovunque, e tuttavia avere CTC dappertutto avendo la dimensione temporale (topologicamente) arrotolata come un cerchio. Oppure, si potrebbero avere connessioni tramite wormhole (tunnel spaziotemporali) tra differenti parti dello spazio-tempo che consentono di entrare nella ‘bocca A’ di una tale connessione wormhole, viaggiare attraverso il wormhole, uscire da esso alla ‘bocca B’ e rientrare nuovamente nella ‘bocca A’. Oppure, si potrebbero avere degli spazio-tempo che topologicamente sono R4, e tuttavia avere CTC a causa del ‘ribaltamento’ dei coni di luce. (Gli spazio-tempo di Gödel, spaziotempo Taub-NUT, etc.)

La relatività generale, dunque, sembra fornirci un’ampia opportunità per il viaggio nel tempo. Da notare che soltanto perché vi sono delle CTC in uno spazio-tempo, ciò non vuol dire che si può andare da un punto all’altro nello spazio-tempo seguendo una certa curva temporale diretta nel futuro. In molti spazio-tempo in cui vi sono CTC, queste stesse non sono presenti in tutto lo spazio-tempo. Alcune parti dello spazio-tempo possono averle mentre altre no. Chiamiamo queste parti dello spazio-tempo che le possiedono le ‘regioni del viaggio nel tempo’ di quello spazio-tempo, mentre quelle parti che non le possiedono saranno le ‘regioni normali’. Più precisamente, la ‘regione del viaggio nel tempo’ è costituita da tutti i punti spazio-temporali p tale che esiste una curva temporale (di lunghezza diversa da zero) che inizia da p e ritorna a p. Ora iniziamo a esaminare un po’ più da vicino lo spazio-tempo con le CTC per potenziali problemi.

5. Due modelli giocattolo

Al fine di dare un’idea del tipo di implicazioni che le curve temporali chiuse possono avere, potrebbe essere d’aiuto considerare due semplici modelli. Negli spazi-tempo con curve temporali chiuse il tradizionale problema del valore iniziale non può essere inquadrato nel modo consueto.  Questo perché ciò presuppone l’esistenza di superfici di Chaucy, e se ci sono CTC allora non possono esistere tali superfici. (Una superficie di Chaucy è una superficie spaziale tale che ogni curva temporale inestensibile l’attraversa esattamente una volta. Normalmente si specificano le condizioni iniziali fornendole su tale superficie.) Cionondimeno, se le complessità topologiche della varietà sono opportunamente localizzate, possiamo avvicinarci abbastanza. Chiamiamo una superficie spaziale senza bordi S una quasi-superficie di Chaucy se essa divide il resto della varietà in due parti tale che a) ogni punto nella varietà può essere connesso da una curva temporale a S, e b) ogni curva temporale che connette un punto in una regione ad un punto in un’altra regione interseca S esattamente una volta. È ovvio che una quasi-superficie di Chaucy debba abitare interamente la regione normale dello spazio-tempo; se un qualunque punto p di S si trova nella regione del viaggio nel tempo, allora qualsiasi curva temporale che interseca p può essere estesa a una curva temporale che interseca nuovamente S vicino p. In casi estremi del viaggio nel tempo, un modello potrebbe non avere affatto regioni normali (ad esempio, lo spazio-tempo di Minkowski arrotolato come un cilindro in una direzione temporale), nel quale caso le nostre solite nozioni di precedenza temporale si applicheranno. Ma le anomalie temporali come i wormhole (e le macchine del tempo) possono essere sufficientemente localizzate in modo tale da permettere l’esistenza di quasi-superfici di Chaucy.

Dato un orientamento temporale, una quasi-superficie di Chaucy divide senza problemi la varietà nel suo passato (cioè, tutti i punti che possono essere raggiunti da curve temporali dirette nel passato da S) e nel suo futuro (allo stesso modo mutatis mutandis). Se l’intero passato di S è la regione normale della varietà, allora S è una parziale superficie di Chaucy: ogni curva temporale inestensibile che esiste nel passato di S interseca S esattamente una volta, ma (se esiste un viaggio nel tempo nel futuro) non tutte le curve temporali inestensibili che esistono nel futuro di S intersecano S. Ora possiamo porre una domanda particolarmente chiara: considera una varietà che contiene una regione del viaggio nel tempo, ma che ha anche una parziale superficie spaziale di Chaucy S, tale che tutti i divertenti affari temporali siano per il futuro di S. Se tutto che tu potessi vedere fosse S e il suo passato, non sapresti che lo spazio-tempo non prevedeva alcun viaggio nel tempo. La domanda è: vi sono vincoli sul tipo di dati che posso essere inseriti in S e portati a una soluzione globale delle dinamiche che sono differenti dai vincoli (se ve ne sono) sui dati che possono essere messi su una superficie di Chuacy in una semplice varietà connessa e proseguiti verso una soluzione globale? Se esistesse un viaggio nel tempo verso il nostro futuro, potremmo essere in grado di dire ciò adesso, a causa di qualche implicita stranezza nella disposizione delle cose presenti?

Il fatto che potrebbero esserci dei vincoli sui dati che possono essere messi su una locale superficie spaziale che passa attraverso la regione del viaggio del tempo non costituisce una così grande sorpresa: dopo tutto non pensiamo alla possibilità di specificare liberamente cosa accade su una superficie spaziale e su un’altra superficie spaziale simile al suo futuro, tuttavia in questo caso la superficie in questione risiede nel proprio futuro. Ma se ci fossero particolari vincoli per i dati su una superficie di Cauchy parziale, allora dovremmo apparentemente escludere alcuni tipi di stati altrimenti accettabili su S se ci deve essere un viaggio nel tempo nel futuro di S. Potremmo allora essere in grado di stabilire che non vi sarà alcun viaggio nel tempo nel futuro semplicemente ispezionando lo stato dell’universo nel presente. Come vedremo, c’è ragione di sospettare che tali vincoli sulla superficie di Chaucy parziale sono non-generici. Ma stiamo andando fuori contesto: prima di tutto consideriamo l’effetto del viaggio nel tempo su una dinamica molto semplice.

Il più semplice esempio possibile è la teoria newtoniana delle collisioni perfettamente elastiche tra particelle ugualmente massicce in una dimensione spaziale. Lo spazio-tempo è a due dimensioni, quindi possiamo rappresentarlo inizialmente come il piano euclideo, e la dinamica è completamente specificata da due condizioni. Quando le particelle viaggiano liberamente, le loro linee del mondo sono rette nello spazio-tempo, e quando due particelle si scontrano, si scambiano il momento, quindi la collisione appare come una ‘X’ nello spazio-tempo, con ogni particella che cambia il suo momento al impatto.^[1] La dinamica è puramente locale, in quanto si può verificare che un insieme di linee d’universo costituisce un modello della dinamica verificando che la dinamica sia rispettata in ogni regione arbitrariamente piccola. È anche banale generare soluzioni da dati iniziali arbitrari se non ci sono CTC: date le posizioni iniziali e i momenti di un insieme di particelle, si può semplicemente disegnare una linea retta da ogni particella nella giusta direzione e continuarla all’infinito. Una volta che tutte le linee saranno disegnate, la linea del mondo di ogni particella può essere tracciata da una collisione all’altra. Il problema del valore limite per questa dinamica è ovviamente ben posto: qualsiasi insieme di dati in un istante fornisce una soluzione globale unica, costruita con il metodo abbozzato sopra.

Cosa succede se cambiamo la topologia dello spazio-tempo a mano al fine di produrre delle CTC? Il modo più semplice per fare ciò è rappresentato dalla figura 3: tagliamo e incolliamo lo spazio-tempo in modo che non sia più semplicemente connesso identificando la retta L− con la retta L+. Le particelle che ‘entrano’ in L+ dal basso ‘emergono’ da L− e le particelle che ‘entrano’ in L− dal basso ‘emergono’ da L+.

Figura 3: Inserimento di CTC con Taglia e Incolla

In che modo il problema del valore limite è cambiato attraverso quest’alterazione dello spazio-tempo? Prima del “taglia e incolla”, possiamo inserire dati arbitrari sulla fetta di simultaneità S e continuare con una soluzione univoca. Dopo il cambiamento nella topologia, S non è più una superficie di Chaucy, dal momento che una CTC non la intersecherà mai, ma essa è una superficie di Chaucy parziale. Quindi possiamo porci due domande. Primo, i dati arbitrari su S possono sempre essere portati a una soluzione globale? Secondo, v’è una soluzione unica? Se la risposta alla prima domanda è no, allora abbiamo un vincolo temporale all’indietro: l’esistenza della regione con delle CTC pone dei vincoli su ciò che può accedere su S anche se quella regione giace completamente nel futuro di S.  Se la risposta alla seconda domanda è no, allora abbiamo uno strano tipo d’indeterminismo: lo stato fisico completo su S non determina lo stato fisico nel futuro, anche se la dinamica locale è perfettamente deterministica e anche se non c’è nessun altro confine passato nella regione spazio-temporale nel futuro di S (cioè, non c’è nessun altro posto da cui provengono i valori di confine e da dove potrebbero influenzare lo stato della regione).

In questo caso la risposta alla prima domanda è sì e la risposta alla seconda è no: non vi sono vincoli ai dati che possono essere messi su S, ma quei dati sono sempre coerenti con un’infinità di diverse soluzioni globali. Il modo facile di vedere che c’è sempre una soluzione è costruire la soluzione minima nel modo seguente. Inizia a disegnare linee rette da S come richiesto dai dati iniziali. Se una linea colpisce L− dal basso, continuala semplicemente uscendo dalla parte superiore di L+ nel punto appropriato, e se una linea colpisce L+ dal basso, continuala facendola emergere da L− nel punto appropriato. La figura 4 rappresenta la soluzione minima per una singola particella che entra nella regione del viaggio nel tempo da sinistra:

La particella ‘viaggia indietro nel tempo’ tre volte. È ovvio che questa soluzione minima è una soluzione globale, dal momento che la particella viaggia sempre per inerzia.

Ma lo stesso stato iniziale su S è coerente anche con altre soluzioni globali. Il nuovo requisito imposto dalla topologia comporta soltanto che i dati che entrano in L+ dal basso corrispondano ai dati che escono da L− dall’alto, e i dati che entrano in L- dal basso corrispondano ai dati che escono da L+ dall’alto. Quindi possiamo aggiungere un numero qualsiasi di linee verticali che collegano L- e L+ a una soluzione e avere ancora una soluzione. Ad esempio, aggiungendo alcune di queste righe alla soluzione minima si ottiene:

La particella adesso collide con sé stessa due volte: prima che essa raggiunga L+ per la prima volta, e poi di nuovo appena prima di uscire dalla regione CTC. Dal punto di vista della particella, essa sta viaggiando verso destra a velocità costante fino a che essa non colpisce una versione più vecchia di sé stessa e si ferma. Rimane a riposo fino a quando non viene colpita da una più giovane versione di sé stessa, e dopo continua a muoversi, e lo stesso processo si ripete più tardi. È chiaro che questo è un modello globale della dinamica, e che qualsiasi numero di modelli distinti potrebbe essere generato variando il numero e la posizione delle linee verticali.

Conoscere i dati su S, quindi, ci dà soltanto informazioni incomplete su come le cose andranno per la particella. Sappiamo che la particella entrerà nella regione CTC, e raggiungerà L+, sappiamo che sarà l’unica particella nell’universo, sappiamo esattamente dove e con che velocità uscirà dalla regione CTC. Ma non possiamo determinare quante collisioni subirà la particella (se ce ne sono), né per quanto tempo (a tempo debito) rimarrà nella regione CTC. Se la particella fosse un orologio, non potremmo prevedere quale orario indicherà quando uscirà dalla regione. Inoltre, la dinamica ci dà alcun indizio su cosa pensare delle varie possibilità: non ci sono probabilità assegnate ai vari distinti risultati possibili.

Cambiare la topologia ha cambiato la matematica della situazione in due modi, i quali tendono ad andare in direzioni opposte. Da un lato S, non è più una superficie di Chaucy, quindi forse non c’è da stupirsi se i dati su S non sono sufficienti per ottenere una soluzione globale. Ma dall’altro lato, c’è un vincolo in più: i dati ‘in uscita’ da L- devono corrispondere esattamente ai dati ‘in entrata’ in L+, anche se ciò che esce da L- ci aiuta determinare cosa entra in L+. Questo ulteriore vincolo di consistenza tende a ridurre le soluzioni, sebbene in questo caso questo vincolo in più sia più che compensato dalla libertà di considerare vari tipi di dati su L+/L-.

Il fatto che la libertà in più compensi il vincolo in più sottolinea anche un modo inaspettato attraverso il quale il paradosso del viaggio nel tempo potrebbe saltare fuori. Proviamo a impostare un a situazione paradossale usando il piccolo loop temporale chiuso illustrato sopra. Se inviamo una singola particella, e nient’altro, da sinistra nel loop, sappiamo esattamente dove uscirà dal lato destro della regione del viaggio nel tempo. Ora, supponiamo di piazzare qualcuno dall’altra parte della regione con il seguente compito: se la particella dovesse uscire sul lato destro, la persona deve fare qualcosa per impedire che la particella entri sin dal principio da sinistra. Infatti, ciò è abbastanza facile: se inviamo una particella da destra, sembra che possa uscire da sinistra e deviare la particella in arrivo da sinistra.

Proseguendo su questa linea, realizzeremo inoltre che se la particella uscisse fuori da destra, potremmo allo stesso modo spedirla indietro al fine d’impedire a sé stessa di giungere fin dal principio. Quindi tutto ciò che abbiamo veramente bisogno di fare è quanto segue: piazzare uno specchio perfettamente in grado di riflettere le particelle sulla parte destra della regione del viaggio nel tempo, e lanciare la particella da sinistra tale che – se niente interferisce con essa – la stessa colpirà a malapena L+. Il nostro paradosso è adesso apparentemente completo. Se, da un lato, nulla interferisce con la particella essa entrerà nella regione del viaggio nel tempo da sinistra, uscirà da destra, sarà riflessa dallo specchio, rientrerà da destra, e uscirà fuori da sinistra per impedire a sé stessa di essere mai entrata. Dunque, se entra, la particella viene deviata e non entra mai. Dall’altro lato, se la particella non entra mai, allora niente andrà verso sinistra, e niente arriverà da destra, dunque niente verrà respinto indietro e non ci sarà niente che impedirà alla particella iniziale di entrare. Quindi se la particella non entra, allora niente la devierà ed essa potrà entrare; se entra, verrà deviata e quindi non entrerà: paradosso completo. (in questo punto c’è una proposizione che mi pare inutilmente ripetuta due volte)

Tuttavia, è facile costruire almeno una soluzione al supposto paradosso: basta seguire le istruzioni per costruire la soluzione minima, continuando la traiettoria iniziale della particella (ovviamente riflettendola allo specchio) e poi leggere il numero e le traiettorie delle particelle dal diagramma risultante. Otteniamo il risultato della figura 6:

Come possiamo vedere, la particella che arriva da sinistra non raggiunge mai L+: viene prima deviata da una particella che proviene da L-. Ma essa non è deviata, come suggerisce il paradosso, da sé stessa, viene invece deviata da un’altra particella. Infatti, vi sono adesso quattro particelle nel diagramma: la particella originale e tre particelle che sono confinate alle curve temporali chiuse. Non è la particella più a sinistra che viene deviata dallo specchio, e non è neanche quella che riflette la particella più a sinistra; si tratta di tutta un’altra particella.

Il paradosso trae forza da un presupposto errato: se esiste soltanto una particella nel mondo in S allora c’è solo una particella che potrebbe partecipare a un’interazione nella regione del viaggio nel tempo: la singola particella dovrebbe interagire con la sua versione più giovane (o più vecchia). Ma non c’è modo di sapere cosa potrebbe venir fuori da L-: l’unico requisito è che qualunque cosa esca fuori deve combaciare con ciò che va in L+. Quindi se ti prendessi la briga di costruire una macchina del tempo funzionante, dovresti prepararti ad un tipo diverso di delusione quando proverai ad entrarci dentro nel tentativo di ucciderci: potresti non essere in grado di entrarci in primo luogo a causa di una qualche entità completamente imprevedibile che esce fuori da essa. E ancora una volta un peculiare tipo d’indeterminismo compare: se ci sono molte cose auto-consistenti che potrebbero impedirti di entrare, non c’è modo di sapere quali potrebbero concretizzarsi.

Quindi quando la libertà di mettere dati su L- supera il vincolo per il quale gli stessi dati vanno in L+, invece di un paradosso abbiamo l’imbarazzo della scelta: molte soluzioni coerenti con i dati su S. Per avere a che fare con un caso in cui il vincolo ‘supera’ la libertà dobbiamo costruire una dinamica e una topologia molto particolari e francamente artificiali. Considera lo spazio di tutte le dinamiche lineari per un campo scalare su un reticolo. (Il reticolo può essere pensato come un semplice spazio-tempo discreto.) Disegneremo il reticolo spazio-temporale come un grafico orientato. È necessario che vi sia un campo scalare definito ad ogni nodo del grafico, il cui valore ad un dato nodo dipende linearmente dai valori del campo ai nodi che hanno le frecce che portano ad esso. A ogni spigolo del grafico può essere assegnato un fattore di ponderazione che determina quanto il campo nel nodo di input contribuisce al campo nel nodo di output. Se denominiamo i nodi con le lettere a, b, c, ecc., e gli spigoli, ovviamente, con i loro punti finali, allora possiamo etichettare i fattori di ponderazione in base agli spigoli cui sono associati in modo altrettanto ovvio.

Supponiamo che il grafico del reticolo spazi-temporale sia aciclico, come in figura 7. (Un grafico è aciclico se non si può viaggiare nella direzione delle frecce e andare in loop.)

È facile considerare un insieme di nodi come una corrispettiva superficie di Chaucy, ad esempio, l’insieme {a, b, c}, ed è ovvio che se dati arbitrari vengono assegnati a quei nodi, questi dati genereranno una soluzione unica nel futuro.^[2] Se il valore del campo al nodo a 3 e al nodo b è 7, allora il suo valore al nodo d sarà 3Wad e il suo valore al nodo e sarà 3Wae + 7Wbe. Variando i fattori di ponderazione possiamo regolare la dinamica, ma in un grafico aciclico l’evoluzione futura del campo sarà sempre unica.

Ora alteriamo di nuovo artificialmente la topologia del reticolo par far sì che vi siano CTC, così che il grafico è adesso ciclico. Uno dei più semplici grafici di questo tipo è rappresentato nella figura 8: vi sono adesso percorsi che portano da z fino a z stesso, ad esempio da z ad y a z.

Possiamo adesso assegnare arbitrariamente dei dati a v e a w, e ottenere, con questi dati, una soluzione globale? Tale soluzione sarà unica?

Nell’eventualità generica, ci sarà una soluzione e sarà unica. Le equazioni per i valori del campo in x, y, e in z sono:

x = vWvx + zWzx
y = wWwy + zWzy
z = xWxz + yWyz.

Risolvendo queste equazioni per z si ottiene:

z = (vWvx + zWzx)Wxz + (wWwy + zWzy)Wyz,

oppure

z = (vWvxWxz + wWwyWyz) / (1 − WzxWxz − WzyWyz),

il che dà un unico valore per z nell’eventualità generica. Ma guardando lo spazio di tutte le possibili dinamiche per questo reticolo (cioè lo spazio di tutti i possibili fattori di ponderazione), troviamo una singolarità nel caso in cui 1−WzxWxz − WzyWyz = 0. Se scegliamo di ponderare questi fattori soltanto in questo modo, allora dati arbitrari in v e in w non possono essere condotti a una soluzione globale. Infatti, se il campo scalare è ovunque non-negativo, allora questa particolare scelta di dinamica pone dei vincoli ferrei sul valore del campo in v e w: il campo deve essere zero (supponendo che Wvx e Wvy siano diversi da 0), e allo stesso modo tutti i nodi nel loro passato devono avere campo a valore 0. Se il campo può assumere valori negativi, allora i valori in v e in w devono essere scelti in modo tale che vWvxWxz = −wWwyWyz. In entrambi i casi, i valori del campo in v e w sono fortemente vincolati dall’esistenza della regione CTC anche se questi nodi giacciono completamente nel passato di quella regione. È proprio questo tipo di vincolo che troviamo diverso da qualsiasi cosa appaia nella fisica standard.

I nostri modelli giocattolo suggeriscono tre cose: la prima è che potrebbe essere impossibile provare in modo del tutto generale che i dati arbitrari su una superficie parziale di Chaucy possono sempre essere condotti ad una soluzione globale: il nostro caso artificiale ci fornisce un esempio in cui ciò non è possibile. La seconda è che è improbabile che tali strani vincoli siano generici: abbiamo dovuto mettere a punto delicatamente le dinamiche per ottenere un problema. La terza è che il problema opposto, cioè dati su una superficie di Chaucy parziale coerenti con molte diverse soluzioni globali, è probabile che sia generico: non abbiamo dovuto fare alcuna messa a punto per ottenere questo risultato. E ciò ci porta ad un peculiare tipo d’indeterminismo: l’intero stato su S non determina cosa accadrà in futuro anche se la dinamica locale è deterministica e non ci sono altri ‘bordi’ spazio-temporali dai quali i dati potrebbero influenzare il risultato. Ciò che accade nella regione del viaggio nel tempo è vincolato ma non determinato da ciò che accade su S e la dinamica non fornisce alcuna probabilità per le varie possibilità. L’esempio del negativo fotografico discusso nella sezione 3, quindi, sembra quasi insolito, poiché in quel caso esiste un punto fisso unico per la dinamica e l’impostazione più le leggi dinamiche determinano il risultato. Nel caso generico ci si aspetterebbe piuttosto più punti fissi, senza che nulla possa influenzare, anche probabilisticamente, ciò che si realizzerebbe.

È ironico che il viaggio nel tempo debba portare genericamente non a contraddizioni o vincoli (nella regione normale) ma alla sottodeterminazione di ciò che accade nella regione del viaggio nel tempo attraverso ciò che accade ovunque (una sottodeterminazione non legata né a una dinamica probabilistica né a uno spazio-tempo libero da confini). L’obiezione tradizionale al viaggio nel tempo è che porta a contraddizioni: non esiste un modo consistente per completare una storia costruita in modo arbitrario su come il viaggiatore nel tempo intende agire. Invece, sembra che il problema sia la sottodeterminazione: la storia può essere completata in modo consistente in molti modi diversi.

6. Osservazioni e limiti dei modelli giocattolo

I due “toy model” presentati sopra hanno il vantaggio di essere matematicamente trattabili, ma comportano delle semplificazioni e problemi potenziali che portano delle difficoltà se li si vuole rendere più complicati. Affrontare queste difficoltà aiuterà a sottolineare le condizioni che abbiamo utilizzato.

Si consideri una leggera modificazione del primo modello semplice proposto da Adam Elga. Ammettiamo che le particelle abbiano una carica elettrica, che produce delle forze secondo la legge di Coulomb. Poi configuriamo una situazione come quella descritta nella fig. 9:

La linea tratteggiata indica il percorso che la particella seguirà se non vi agiscono delle forze. Il punto indicato come P rappresenta il bordo sinistro della regione del viaggio nel tempo; le due indicazioni ci ricordano che il punto inferiore e quello superiore sono lo stesso e identico.

Il paradosso di Elga afferma: se nessuna forza agisce sulla particella, allora entrerà nella regione del viaggio nel tempo. Ma se entra nella regione del viaggio nel tempo, e quindi riappare lungo il bordo inferiore, allora il suo sé posteriore interagirà con il suo sé precedente e questo verrà deviato dalla regione del viaggio nel tempo. È facile configurare l’esempio affinché la deviazione sia tale da impedire sempre alla particella di entrare nella regione del viaggio nel tempo. (Per esempio, ammettiamo che il momento della particella in arrivo verso la regione del viaggio nel tempo sia molto piccolo. L’esistenza stessa di una particella con una carica identica dentro la regione del viaggio nel tempo sarà sufficiente a deviare la particella in arrivo di modo che non raggiunga mai L+.) Ma, naturalmente, se la particella non entra mai nella regione, allora non sarà lì a poter deviare sé stessa …

Si potrebbe sospettare che qualche insieme complicato di particelle cariche nella regione del viaggio nel tempo possa salvare la situazione, come è successo con il nostro problema della riflessione speculare sopra. Ma (a meno che non ci siano un’infinità di tali particelle) ciò non può funzionare, come dimostrano la conservazione del numero di particelle e del momento lineare. Supponiamo che qualche insieme finito di particelle emerga da L– e fornisca la forza elettrica repulsiva necessaria per deviare la particella in arrivo. Allora precisamente lo stesso insieme di particelle deve essere assorbito in L+.  Quindi in tutti i tempi dopo L+ l’unica particella che esista nel mondo è la particella in arrivo, che ormai è stata deviata dalla sua traiettoria originale.

La deviazione, però, implica che il momento lineare della particella è cambiato rispetto a quello che era prima di L-. Ma ciò è impossibile, secondo la conservazione del momento lineare. Non importa come interagisce la particella in arrivo con le particelle nella regione del viaggio nel tempo, né come interagiscono quelle particelle l’una con l’altra, il momento lineare totale viene sempre conservato dalla interazione. E qualsiasi momento lineare netto che le particelle che viaggiano nel tempo possano avere quando emergono da L-, la stessa quantità di momento lineare deve essere assorbita in L+. Quindi il momento della particella in arrivo non può essere cambiato dall’interazione: la particella non può essere stata deviata. (Si potrebbe immaginare di cercare di creare una specie di curva a “S” nella traiettoria della particella in arrivo, prima piegandola verso sinistra e poi verso destra, il che lascia il suo momento finale uguale al momento iniziale, ma spostandola nello spazio affinché non raggiunga L+.  Tuttavia, se la forza in questione è repulsiva, allora non si può piegare la traiettoria a destra. Nell’esempio dello specchio sopra, il percorso della particella in arrivo può essere cambiato senza violare la conservazione del momento perché alla fine della procedura il momento è stato trasferito nello specchio.)

Come riesce l’esempio di Elga a sfuggire alla nostra analisi? Perché non può un principio di continuità garantire l’esistenza di una soluzione qui?

Il presupposto della continuità crolla a causa di due caratteristiche dell’esempio: la concentrazione della carica elettrica sul punto materiale, e il modo in cui abbiamo trattato (o, più accuratamente, non trattato) il punto P, il bordo di L+ (and L-).  Abbiamo supposto che una particella del punto materiale o colpisce L+ e poi emerge da L-, oppure non raggiunge L+ e continua il suo percorso nella regione dello spazio-tempo al di sopra. Ciò significa che la particella in arrivo ha soltanto due possibilità: o viene trasportata intera indietro nel tempo oppure evita completamente il viaggio nel tempo. Vediamo come cambia la situazione se immaginiamo che la carica sia un continuo divisibile.

Supponiamo che, invece di essere concentrata in un solo punto, l’oggetto in arrivo sia una piccola barra, nel quale la carica elettrica sia distribuita in modo uniforme (fig. 10)

Di nuovo, configuriamo le cose di modo che, se non ci sono forze agendo sulla barra, allora sarà assorbito completamente in L+. Ma adesso ipotizziamo che se la barra dovesse colpire il punto P, si romperebbe: una parte di essa (la parte che colpisce L+) verrà rimandata indietro nel tempo e la parte restante continuerà il suo percorso sopra L+. Così viene restaurata una specie di continuità: adesso non abbiamo soltanto la possibilità che l’intera carica venga mandata indietro o che non ritorni affatto, abbiamo anche un continuum di gradi di carica tra le due possibilità.

Non è difficile capire che la restaurazione della continuità restaura l’esistenza di una soluzione coerente. Se non viene mandata una carica indietro nel tempo, allora la barra non viene deviata e tutto la barra colpisce L+ (e di conseguenza viene mandata indietro nel tempo). Se tutta la carica viene deviata, allora la barra in arrivo viene deviata finché manca completamente L+, e quindi nessuna carica viene mandata indietro. Ma se la giusta quantità di carica viene mandata indietro nel tempo, allora la barra sarà deviata soltanto parzialmente, di modo che colpisca il punto di bordo P, e verrà scissa in una parte che va indietro e una parte che non va indietro, e la prima parte conterrà la giusta quantità di carica da produrre proprio quella deviazione (figura 11).

Anche il nostro problema della conservazione del momento è risolto: una parte della barra che non viaggia nel tempo ha un momento minore rispetto a quello che aveva inizialmente, ma la parte che viaggia nel tempo ha un momento maggiore (per via delle forze di Coulomb), e il tutto si bilancia.

Imbroglieremmo se configurassimo la particella carica come una barra che si può scindere?

E se insistessimo che la particella è davvero un punto materiale, e di conseguenza che il suo viaggio nel tempo è una questione di tutto o niente?

In quel caso ora dobbiamo preoccuparci di una domanda che non abbiamo ancora affrontato: cosa succede se il nostro punto materiale colpisce esattamente al punto P nel diagramma? Viaggia nel tempo o no? Affrontare questa domanda richiede che trattiamo un aspetto del modo semplificato in cui abbiamo implementato il viaggio nel tempo con i nostri modelli giocattolo usando il metodo copia e incolla. Il modo in cui abbiamo rimodulato la struttura spazio-tempo ha avuto una conseguenza piuttosto severa: lo spazio-tempo risultante non è più un manifold (varietà): la struttura topologica al punto P è diversa rispetto alla struttura topologica altrove. I fisici matematici non trattano affatto tali strutture: la procedura normale è di eliminare il punto incriminato dallo spazio-tempo e quindi restaurare la struttura manifold. In questo caso ciò lascerebbe una singolarità “nuda” al punto P, un margine a spazio-tempo aperto dentro il quale qualsiasi cosa potrà sparire e dal quale, come ce lo suggerisce la fisica, qualsiasi cosa potrebbe emergere.

In particolare, se insistiamo che il nostro sia un punto materiale, allora se la sua traiettoria dovesse per caso intersecarsi con P semplicemente sparirebbe. Cosa potrebbe causare il risultato estremamente fortuito che la traiettoria possa colpire esattamente in P? L’emergenza di qualche altra particella caricata, con la carica e traiettoria giuste, da P (su L-). E non siamo più vincolati da una qualsiasi legge di conservazione: la singolarità nuda può sia inghiottire che produrre qualsiasi massa o cambiamento che vogliamo. Ne segue che se insistiamo sui punti materiali, allora dobbiamo tenere in considerazione la singolarità, il che salva di nuovo la situazione.

Considerare questi (leggermente più complicati) modelli giocattolo non sostituisce la dimostrazione dei teoremi, naturalmente. Però servono ad illustrare i tipi di considerazioni che necessariamente entrano in gioco quando si prova di precisare la fisica del viaggio nel tempo in tutti i suoi dettagli. Ora discutiamo alcuni risultati riguardo alcuni modelli leggermente più realistici che sono stati discussi nella letteratura fisica.

7. Modelli leggermente più realistici del viaggio nel tempo

Echeverria, Klinkhammer and Thorne (1991) hanno considerato il caso di una singola palla dura e sferica a tre dimensioni che è in grado di attraversare un singolo condotto spazio-temporale in modo che possa entrare in collisione con il suo sé precedente.

La minaccia di un paradosso in questo caso sorge nel modo seguente. Ci sono delle traiettorie iniziali (cominciando nella regione spazio-tempo senza il viaggio nel tempo) per la palla tali che se una tale traiettoria continua (entrando nella regione del viaggio nel tempo), presumendo che la palla non entri in collisione prima di entrare nella bocca #1 del condotto wormhole, uscirà dalla bocca per entrare in collisione con il suo sé precedente prima dell’entrata di questo nella bocca #1, e in tal modo impedisce al suo sé precedente di entrare nella bocca #1. Quindi sembra che la palla entrerà nella bocca #1 se e soltanto se non entra nella bocca #1. Naturalmente la strategia Wheeler-Feynman è di cercare una soluzione a glancing blow (‘colpo di striscio’): una collisione che produrrà esattamente quella (piccola) deviazione di traiettoria della prima palla che a sua volta produce esattamente quella collisione. Esistono sempre tali soluzioni? ^[3]

Echeverria, Klinkhammer & Thorne hanno trovato una grande classe di traiettorie iniziali che hanno continuazioni coerenti a ‘colpo di striscio’ e non ne hanno trovato nessuna che non lo fosse (ma la loro ricerca non era di natura completamente generale). Non hanno prodotto una prova rigorosa che ogni traiettoria iniziale abbia una continuazione coerente, ma hanno suggerito che è molto plausibile che ogni traiettoria iniziale abbia una continuazione coerente. Vale a dire che hanno fatto sì che è molto plausibile che, nel caso della palla da biliardo e del wormhole, la struttura del viaggio nel tempo di un tale spazio-tempo da wormhole non risulti in vincoli su stati su superficie genere spazio nella regione dove non esiste il viaggio nel tempo.

Infatti, come ci si potrebbe aspettare dalla nostra discussione nella sezione precedente, hanno scoperto il problema opposto a quello della incoerenza: hanno trovato la sotto-determinazione. Per una grande classe di traiettorie iniziali ci sono molteplici diverse continuazioni a ‘colpo di striscio’ coerenti di quella traiettoria (molte delle quali comportano molteplici attraversamenti di wormhole). Per esempio, se inizialmente si ha una palla che segue una traiettoria mirata ad andare diritto tra le due bocche, allora una ovvia soluzione è che la palla passa tra le due bocche e non avviene il viaggio nel tempo. Ma un’altra soluzione è che la prima palla viene urtata e finisce nella bocca #1 in modo esatto per farla uscire dalla bocca #2 e produrre quella collisione. Echeverria et al. non notano la possibilità (che abbiamo sottolineato nella sezione precedente) dell’esistenza di palle aggiuntive nella regione del viaggio nel tempo. La nostra congettura (ma non ne abbiamo le prove) è che per ogni traiettoria di A ci siano alcune, e infatti genericamente molte, continuazioni con molteplici palle.

Friedman et al. 1990 hanno esaminato il caso di campi scalari senza fonte che non interagiscono con sé stessi che viaggiano attraverso un tale wormhole e hanno trovato che l’esistenza di tali wormhole del viaggio nel tempo non impone vincoli sulle condizioni iniziali nella regione del non viaggio nel tempo. In generale sembra che non vi siano esempi che confutano l’affermazione che in tempi spaziali del viaggio nel tempo ‘piuttosto realistici’ con una superficie parziale Cauchy non ci sono vincoli imposti sullo stato su tale superficie parziale Cauchy dall’esistenza dei CTC (Ved. per es. Friedman and Morris 1991, Thorne 1994, e Earman 1995; in Altre risorse dell’Internet, ved. Earman, Smeenk, e Wüthrich 2003.)

E il problema dei vincoli nella regione del viaggio nel tempo T? Prima facie, non sembrerebbero sorprendenti dei vincoli in una tale regione. Ma ci si potrebbe ancora aspettare che non vi siano vincoli sugli stati di una superficie genere spazio, a patto che si mantenga la superficie ‘abbastanza piccola’. Nella letteratura fisica la seguente domanda è stata posta: esiste, per qualsiasi punto p in T, e per qualsiasi superficie genere spazio S che include p, una vicinanza E di p in S tale che qualsiasi soluzione su E possa essere estesa nell’intero spazio-tempo? Riguardo a questa domanda, ci sono alcuni modelli semplici in cui si ha questo tipo di estendibilità delle soluzioni locali in quelle globali, ed alcuni modelli semplici nei quali non si ha una tale estendibilità, senza uno schema chiaro. I problemi tecnici matematici sono amplificati dal problema più concettuale di ciò che potrebbe significare dire che si potrebbe creare una situazione che forza la creazione di curve chiuse genere tempo. (Vedi, ad esempio, Yurtsever 1990, Friedman et al. 1990, Novikov 1992, Earman 1995 e Earman, Smeenk e Wüthrich 2009; in Altre risorse sull’Internet, ved. Earman, Smeenk e Wüthrich 2003). Cosa dobbiamo pensare di tutto ciò?

8. E anche se ci fossero vincoli?

Siccome non è ovvio che ci si possa sbarazzare di tutti i vincoli nei modelli realistici, esaminiamo l’argomento per cui viaggiare il tempo è implausibile, e dovremmo pensare che la sua esistenza sia improbabile nel nostro mondo, nella misura in cui implica tali restrizioni. L’argomento si svolge all’incirca come segue. Per soddisfare tali vincoli bisogna che ci sia qualche divina armonia prestabilita tra la struttura globale (viaggiare nel tempo) dello spazio-tempo e la distribuzione delle particelle e dei campi sulle superfici genere spazio in essa. Ma non è plausibile che il mondo reale esistente, o qualsiasi mondo anche remotamente simile

al nostro, sia costruito con una armonia divina come parte del progetto. Infatti, si potrebbe discutere, abbiamo delle prove empiriche del fatto che le condizioni in qualsiasi regione spaziale possono variare in modo del tutto arbitrario. Quindi abbiamo le prove che tali vincoli, qualunque siano, non esistono realmente nel nostro mondo. Quindi abbiamo le prove che non ci sono linee chiuse genere tempo nel nostro mondo né in uno remotamente simile a esso. Adesso esamineremo questo argomento in maniera più dettagliata, presentando quattro risposte possibili, con altrettante contro-risposte, a questo argomento.

Risposta 1. Non c’è niente di implausibile né di nuovo in questi vincoli. Per esempio, se l’universo è spazialmente chiuso, ci deve essere abbastanza materia da produrre la curvatura necessaria, e ciò impone delle costrizioni sulla distribuzione della materia su una ipersuperficie genere spazio. Quindi la struttura globale dello spazio-tempo può, senza problemi, costringere le distribuzioni di materia sulle ipersuperficie simili allo spazio contenute in essa. Inoltre, non abbiamo nessuna idea realistica di come appaiano questi vincoli, quindi a malapena possiamo dire di avere delle prove che essi non presentano.

Contro-risposta 1. Naturalmente ci sono dei rapporti di vincolo tra la struttura globale dello spazio-tempo e la materia in essa. Le equazioni di Einstein mettono in rapporto la curvatura della molteplicità con la distribuzione della materia in essa. Ma ciò che risulta così strano e implausibile nei vincoli imposti dall’esistenza delle curve simili al tempo chiuse è che essenzialmente non hanno niente a che fare con le equazioni di Einstein. Quando si investigano tali vincoli si trattano tipicamente le particelle e/o i campi in questione come particelle e/o campi di prova in un dato spazio-tempo, cioè si presume che non abbiano nessun impatto sulla metrica dello spazio-tempo. In casi di spazio-tempo tipici senza curve chiuse simili al tempo ciò significa che si ha, essenzialmente, una autonomia completa nella distribuzione della materia su una ipersuperficie genere spazio. (Vedi risposta 2 per un’ulteriore discussione di questo argomento). I vincoli imposti dalla possibilità del viaggiare nel tempo hanno un’origine completamente diversa e sono implausibili. Nel caso ordinario esiste un’interazione causale tra la materia e lo spazio-tempo che risulta in relazioni tra la struttura globale dello spazio-tempo e la distribuzione della materia in essa. Nel caso del viaggio nel tempo non c’è alcuna simile storia causale da raccontare: ci deve essere semplicemente qualche armonia prestabilita tra la struttura globale spazio-tempo e la distribuzione della materia su alcune superfici simili allo spazio.

Risposta 2. I vincoli sulla materia non sono niente di nuovo. Per esempio, le equazioni di Maxwell costringono i campi elettrici E su una superficie iniziale in relazione alla distribuzione della densità della carica (simultanea) ρ con l’equazione ρ = div(E). (Se presumiamo che il campo E viene generato soltanto dalla distribuzione della carica, questa condizione equivale a richiedere che il campo E a qualsiasi punto nello spazio sia semplicemente quello generato dalla distribuzione della carica secondo la legge di Coulomb.) Questa non è un’armonia divina implausibile. Tali vincoli possono reggere come argomenti di leggi fisiche. Inoltre, se avessimo dedotto dalla variazione apparentemente libera nelle condizioni nelle regioni spaziali che non ci possano essere tali costrizioni, avremmo sbagliato nel dedurre che ρ = div(E) potrebbe non essere una legge naturale.

Contro-risposta 2. I vincoli imposti dall’esistenza di linee chiuse simili al tempo sono di carattere del tutto diverso dal vincolo imposta da ρ = div(E). I vincoli imposti da ρ = div(E) sullo stato di una ipersuperficie genere spazio sono: (i) vincoli locali (cioè per controllare se il vincolo regge in una regione si deve soltanto vedere se regge in ogni punto nella regione), (ii) totalmente indipendenti dalla struttura globale dello spazio-tempo, (iii) totalmente indipendenti da come la ipersuperficie simile allo spazio-tempo in questione è incastrata in un dato spazio-tempo, e (iv) molto semplicemente e generalmente stateable (‘affermabili’). Al contrario, i vincoli della coerenza imposti dall’esistenza di curve chiuse simili al tempo (i) non sono locali, (ii) dipendono della struttura globale dello spazio-tempo, (iii) dipendono della posizione della superficie genere spazio in questione in un dato spazio-tempo, e (iv) non sembrano essere semplicemente stateable a meno che l’esigenza che lo stato su quella superficie genere spazio incassata in una qualche maniera in un dato spazio-tempo non porti a incoerenze. Secondo alcuni punti di vista sulle leggi (per es. quello di David Lewis) questa plausibilità implica che tali vincoli, anche se reggono, non potrebbero affatto essere leggi. Ma anche se non si accetta un simile punto di vista sulle leggi, si potrebbe asserire che gli aspetti bizzarri di tali vincoli implicano che è implausibile che tali vincoli reggono nel nostro mondo o in qualsiasi mondo remotamente simile al nostro.

Risposta 3. Sarebbe strano se non ci fossero vincoli nella regione senza possibilità di viaggio nel tempo. Non è strano se ci sono vincoli nella regione del viaggio nel tempo. Andrebbero spiegati in termini del carattere strano e auto-interattivo delle regioni del viaggio nel tempo. In questa regione esistono delle traiettorie genere tempo da punti a sé stessi. Quindi lo stato a un tale punto, in una tale regione, reagirà, in un certo senso, con sé stesso. È ben conosciuto che i sistemi che interagiscono con sé stessi raggiungono uno stato di equilibrio, se esiste un tale stato di equilibrio, o altrimenti si sviluppano verso qualche singolarità. Certamente, di norma la auto-interazione non è una vera auto-interazione istantanea, ma consiste in un meccanismo di feedback che impiega del tempo. Ma nelle regioni del viaggio nel tempo succede qualcosa di simile alla vera auto-interazione istantanea. Ciò spiega perché si trovano dei vincoli sugli stati in tali regioni del viaggio nel tempo: gli stati ‘ab initio’ devono essere ‘stati in equilibrio’. Infatti, in un certo modo ciò fornisce qualche idea del perché avviene l’indeterminismo nelle regioni del viaggio nel tempo: all’inizio della auto-interazione gli stati possono dividersi in diversi stati di equilibrio equi-possibili.

Contro-risposta 3. Questa è una spiegazione che adopera un’analogia fumosa. Tutto va a mostrare che il viaggio nel tempo porta a delle conseguenze così bizzarre che è improbabile che accada in un mondo remotamente simile al nostro.

Risposta 4. Tutta la discussione precedente evita il punto essenziale. Finora abbiamo considerato la struttura dello spazio-tempo come un fatto dato e abbiamo posto la domanda se una data struttura di viaggio nello spazio-tempo impone dei vincoli sugli stati in (parti di) superficie genere spazio. Tuttavia, lo spazio-tempo interagisce con la materia. Supponiamo di essere in uno spazio-tempo con linee genere tempo chiuse tali da escludere certe distribuzioni controfattuali della materia in qualche vicinanza di un punto p se si ritiene che la struttura spazio-tempo sia fissa. Si potrebbe chiedere allora “Perché lo stato esistente vicino a p soddisfa effettivamente questi vincoli? Con quale fortuna o disegno divini questo stato locale è compatibile con la struttura globale dello spazio-tempo? E se le condizioni vicino a p fossero state leggermente diverse?” E si potrebbe decidere che la mancanza di risposte normali a queste domande indica che è altamente improbabile che il nostro mondo, o qualsiasi altro remotamente simile, sia un tale universo in cui è possibile il viaggio nel tempo. Tuttavia, la risposta giusta a queste domande è la seguente. Non ci sono vincoli in senso significativo. Se reggono, reggono come fatto casuale, non come legge. Non c’è altra spiegazione per loro come per qualsiasi fatto contingente. Se le condizioni nella vicinanza di p fossero state diverse, la struttura globale dello spazio-tempo sarebbe stata diversa. E allora? L’unica domanda rilevante al problema dei vincoli è se uno stato arbitrario su una superficie arbitraria S può sempre essere incassato in uno spazio-tempo tale che lo stato su Ssi estenda in modo coerente ad una soluzione sull’intero spazio-tempo.

Ma sappiamo la risposta a quella domanda. Un teorema ben conosciuto della relatività generale dice come segue: qualsiasi insieme di dati localizzato su un manifold Stridimensionale con metrica definita positiva ha un’incassatura unica in uno spazio-tempo massimale nel quale S è una superficie di Cauchy (vedi, ad esempio, Geroch e Horowitz 1979, p. 284 per ulteriori dettagli), cioè vi è un unico massimo spazio-tempo che ha S come superficie di Cauchy e contiene un’evoluzione coerente dei dati di valore iniziali su S. Ora siccome S è una superficie di Cauchy questo spazio-tempo non ha curve chiuse genere tempo. Ma potrebbe avere estensioni (nelle quali S non è una superficie di Cauchy) che includono curve chiuse genere tempo, in effetti potrebbe essere che qualsiasi estensione massimale di esso includerebbe delle curve chiuse genere tempo. (Ciò appare essere il caso per estensioni di stati su certe superficie di spazio-tempo Taub-NUT. Vedi Earman, Smeenk, and Wüthrich 2003 in Altre risorse sull’Internet). Ma queste estensioni, naturalmente, saranno coerenti. Ciò nonostante, lo spazio-tempo nel quale sono incassati potrebbero o non includere delle curve chiuse genere tempo.

Contro-risposta 4. Ciò, in essenza, è la risposta tergiversante che avevamo indicato all’inizio della sezione 2. Comunque, se li si chiamano o no ‘vincoli genuini’ quei vincoli imposti da un dato spazio-tempo su distribuzioni di materia su certe superficie genere spazio, se o no li si possono considerare simili a leggi, e se o no bisogna spiegarli, l’esistenza di tali vincoli può ancora essere usata per discutere del fatto che i mondi in cui è possibile il viaggio nel tempo sono così bizzarri che è implausibile che nel nostro mondo o in qualsiasi mondo remotamente come il nostro siano mondi in cui è possibile il viaggio nel tempo.

Supponiamo che il nostro sia un mondo in cui è possibile il viaggio nel tempo. Supponiamo che data la struttura globale dello spazio-tempo di questo mondo, ci sono dei vincoli imposti, diciamo, allo stato di moto di una palla su qualche superficie genere spazio quando viene trattata come una particella sperimentale, cioè quando si presume che la palla non abbia effetto sulle proprietà metriche dello spazio-tempo nel quale si trova. (C’è una grande quantità di altra materia che, attraverso l’equazione di Einstein, corrisponde esattamente alla curvatura che esiste ovunque in questo mondo del viaggio nel tempo.) Ora, una palla vera, naturalmente, ha effettivamente qualche effetto sulla metrica dello spazio-tempo in cui si trova. Ma consideriamo una palla così piccola che il suo effetto sulla metrica è insignificante. Presumibilmente reggerà ancora il caso che certi stati di questa palla su quella superficie tipo spazio non siano compatibili con la struttura globale del viaggio nel tempo di questo universo. Ciò significa che la reale distribuzione di materia su una tale superficie genere spazio può essere estesa in uno spazio-tempo con linee chiuse genere spazio-tempo, ma che certe distribuzioni controfattuali di materia su questa superficie genere spazio non possono essere estese nello stesso spazio-tempo. Nota bene però che i cambiamenti nella distribuzione della materia (andando dalla distribuzione reale a quella controfattuale) non hanno nessun effetto in qualsiasi modo non-significativo sulle proprietà metriche dello spazio-tempo. Quindi il motivo per cui le proprietà globali del viaggio nel tempo dello spazio-tempo controfattuale devono essere significativamente diverse da quelle del reale spazio-tempo non è perché ci sono problemi con singolarità matematiche o cambiamenti nella metrica che costringono dei cambiamenti significativi globali quando andiamo alla distribuzione della materia controfattuale. Il motivo per cui lo spazio-tempo controfattuale deve essere diverso è che nel mondo controfattuale lo stato iniziale del moto della palla a partire della superficie genere spazio non potrebbe ‘incontrare’ in modo coerente la sua prima entità (non potrebbe essere esteso in modo coerente) se lasciassimo che la struttura globale dello spazio-tempo controfattuale sia la stessa del reale spazio-tempo. Ora non è né bizzarro né implausibile che ci sia una dipendenza controfattuale della struttura del manifold, perfino della sua topologia, sulle distribuzioni della materia su superficie genere spazio. Per esempio, certe distribuzioni della materia possono produrre singolarità, altre no. Potremmo infatti in qualche modo avere qualche potere causale sulla topologia dello spazio-tempo in cui viviamo. Ma questo potere viene attraverso le equazioni di Einstein Ma è bizzarro pensare che ci potrebbe essere una dipendenza controfattuale della struttura globale dello spazio-tempo della disposizione di certe minuscole parti della materia su qualche superficie tipo spazio, dove cambiamenti in quella disposizione, si presume, non hanno effetto sulla metrica in nessun posto nello spazio-tempo in modo significativo. È implausibile che noi viviamo in un tale mondo, o che un qualsiasi mondo remotamente simile al nostro sia così.

Cerchiamo di illustrare questo argomento in una maniera diversa presumendo che il viaggio nel tempo attraverso un wormhole impone dei vincoli sugli stati delle persone prima di un tale viaggio nel tempo, dove le persone hanno una massa/energia così piccola che hanno un effetto insignificante, attraverso l’equazione di Einstein, sulle proprietà metriche locali dello spazio-tempo. Credete che sia più plausibile che noi viviamo in un mondo dove il viaggio nel tempo attraverso il wormhole accade ma soltanto quando lo stato delle persone è tale che questi stati locali capitano di combinarsi con il viaggio nel tempo di modo che nessuno riesce mai ad uccidere il suo sé precedente, o pensate che sia più plausibile che non ci troviamo in un mondo in cui è possibile il viaggio nel tempo attraverso un wormhole?

9. Meccanica quantistica alla riscossa?

C’è stato un trattamento particolarmente chiaro del viaggio nel tempo nel contesto della meccanica quantistica da parte di David Deutsch (ved. Deutsch 1991, e Deutsch e Lockwood 1994) nel quale si asserisce che alcune considerazioni della meccanica quantistica dimostrano che il viaggio nel tempo non impone mai dei vincoli sullo stato dei sistemi prima del viaggio nel tempo. L’essenza di questa spiegazione è come segue.

Un sistema quantistico inizia nello stato S1, interagisce con il suo sé posteriore, dopo l’interazione è in stato S₂, viaggia nel tempo mentre si trasforma in stato S₃, poi interagisce con il suo sé precedente, e finisce nello stato S_4. (Vedi figura 13)

Deutsch presume che l’insieme dei possibili stati di questo sistema siano stati misti, cioè sono rappresentati dalle matrici di densità sullo spazio Hilbert di quel sistema. Deutsch dimostra poi che per ogni stato iniziale S₁ ogni azione unitaria tra il sé posteriore e quello precedente, e qualsiasi sviluppo unitario durante il viaggio nel tempo, vi è una soluzione coerente, cioè c’è almeno un paio di stati S₂ e S₃ tali che quando S₁ interagisce con S₃ muterà nello stato S₂e S₂ si svilupperà poi in S₃. Gli stati S₂, S₃ e S₄ tipicamente non saranno stati puri, i.e. saranno stati misti non-banali, anche se S₁ è puro. Per capire come ciò può portare a problemi di interpretazione ne diamo un esempio.  Consideri un Sistema che ha uno spazio di Hilbert bidimensionale con come base gli stati | + ⟩ e | – ⟩. Supponiamo che quando lo stato | + ⟩ del sistema giovane incontra lo stato    | + ⟩ del Sistema più vecchio, interagiscono tra di loro e il sistema più giovane si trasforma nello stato  | – ⟩e il vecchio sistema rimane nello stato   | + ⟩ . In notazione ovvia: | + ⟩ 1 | + ⟩ 3 si trasforma in | – ⟩ 2  | + ⟩ 4.

Similmente, supponiamo che:

| + ⟩ 1 | – ⟩ 3 si trasfomi in | + ⟩ 2 | – ⟩ 4,  | – ⟩1  | + ⟩ 3 si trasformi in | – ⟩ 2 | – ⟩ 4, e 1 | – ⟩ 3 si trasformi in | + ⟩ 2  | + ⟩ 4.

Presumiamo inoltre che non vi è uno sviluppo nello stato del sistema durante il viaggio nel tempo i.e., che | + ⟩ 2 si trasformi in  | + ⟩ 3, e che | – ⟩ 2 si trasformi in | – ⟩ 3.

Ora se gli unici stati possibili del Sistema fossero | + ⟩ e | – ⟩ (i.e., se non vi fossero sovrapposizioni o combinazioni di questi stati), allora c’è un vincolo sugli stati iniziali: lo stato iniziale | + ⟩ 1 è impossibile. Perché se | +⟩ 1 interagisce con   | + ⟩ 3allora si trasformerà in  | – ⟩ 2, il quale stato, durante il viaggio nel tempo si trasformerà in  | – ⟩ 3, che non è coerente con lo stato presunto | + ⟩ 3. Similmente se | + ⟩ 1 interagisce con | – ⟩ 3 si trasformerà in      | + ⟩ 2, che poi si trasformerà in | + ⟩ 3 il quale è pure incoerente. Ne segue che il sistema non può iniziare nello stato  | + ⟩ 1.

Ma, dice Deutsch, nella meccanica quantistica un tale sistema può anche trovarsi in qualsiasi combinazione degli stati   | + ⟩ e | – ⟩. Supponiamo che il sistema più vecchio, prima dell’interazione, sia nello stato S₃,che è una combinazione di parti uguali, 50%  | + ⟩ 3and 50% | – ⟩ 3. Poi il sistema precedente durante l’interazione si trasformerà in una combinazione di 50%  | + ⟩ 2 e 50% | – ⟩ 2, che si trasformerà poi in una combinazione di 50%  | + ⟩ 3 e 50% | – ⟩ 3, che è coerente! Più generalmente Deutsch utilizza un teorema di punto fisso per dimostrare che non importa quale sia lo sviluppo unitario durante l’interazione, non importa quale sia lo sviluppo durante il viaggio nel tempo, per ogni stato S₁c’è sempre uno stato S₃(che tipicamente non è uno stato puro) che fa sì che S₁ si trasformi in uno stato S₂ che si trasforma in quello stato S₃. Quindi la meccanica quantistica arriva in soccorso: dimostra in ogni generalità che nessuna costrizione è necessaria!

Ci si potrebbe chiedere perché Deutsch usa stati misti: non basta la sovrapposizione degli stati | + ⟩ e | – ⟩ ? Sfortunatamente questa idea non funziona. Supponiamo di nuovo che lo stato iniziale sia | + ⟩1. Si potrebbe suggerire che se lo stato S₃ sia 1/√2 | + ⟩ 3 + 1/√2 | – ⟩ 3 si otterrà uno sviluppo coerente. Perché si potrebbe pensare che quando lo stato iniziale   | + ⟩ 1incontra la sovrapposizione 1/√2 | + ⟩ 3 + 1/√2  | – ⟩ 3, si trasformerà in sovrapposizione 1/√2 | + ⟩ 2+ 1/√2 | – ⟩ 2, e che questo al suo turno si trasformerà in 1/√2  | + ⟩ 3 + 1/√2 | – ⟩ 3, come desiderato. Tuttavia, questo non è corretto. Perché quando lo stato iniziale | + ⟩ 1incontra 1/√2  | + ⟩ 3 + 1/√2  | – ⟩ 3, si trasformerà nello stato intrecciato 1/√2 | – ⟩ 2 | + ⟩ 4 + 1/√2  | – ⟩ 2 | + ⟩ 4. Nei limiti in cui si può parlare dello stato del sistema precedente dopo questa interazione, si tratta della combinazione di 50%  | + ⟩ 2 e 50%   | – ⟩ 2, e non della sovrapposizione 1/√2   | + ⟩ 2 + 1/√2 | – ⟩ 2. Quindi Deutsch è costretto a ricorrere agli stati misti.

Questa chiarificazione del perché Deutsch ha bisogno delle sue combinazioni, però, indica una preoccupazione seria delle semplificazioni che fanno parte del resoconto di Deutsch. Dopo l’interazione, il sistema vecchio e quello nuovo saranno (tipicamente) in uno stato entangled (intrecciato). Sebbene per gli scopi di una misurazione di uno dei due sistemi si possa dire che questo sistema è in uno stato misto, non si può rappresentare il pieno stato dei due sistemi specificando lo stato misto di ogni parte separata, siccome ci sono correlazioni tra gli osservabili dei due sistemi che non sono rappresentati da questi due stati misti, ma sono rappresentati nello stato intrecciato congiunto. Ma se c’è davvero uno stato intrecciato del sistema giovane con il vecchio direttamente dopo l’interazione, come si deve rappresentare lo sviluppo seguente di questo stato intrecciato? Lo stato del sistema precedente rimarrà intrecciato con lo stato del sistema posteriore mentre quello precedente viaggia nel tempo e posteriore viaggia in avanti verso il futuro?  Su quali superficie genere spazio dobbiamo immaginare che si trovi questo stato intrecciato? A questo punto diventa chiaro che non c’è nessun modo ovvio e semplice di estendere la meccanica quantistica elementare non-relativista agli spazio-tempo con curve genere tempo chiuse. Ci sono stati approcci al viaggio nel tempo più sofisticati di quello di Deutsch, utilizzando macchine tecniche che vanno dalla teoria quantistica dei campi e manifold differenziabili (ved. per es., Friedman et al 1991, Earman, Smeenk, e Wüthrich 2003 in Altre risorse sull’ Internet e la Bibliografia contenuta). Ma da questi approcci non sono usciti dei risultati altrettanto chiari e interessanti di quello di Deutsch.

Come evita Deutsch queste complicazioni? Deutsch presume uno stato misto S₃ del sistema vecchio prima dell’interazione con il sistema più giovane. Lo lascia interagire con uno stato puro arbitrario S₁ del sistema più giovane. Dopo questa interazione vi è uno stato intrecciato S′ dei due sistemi. Deutsch computa lo stato misto S₂ del Sistema più giovane che viene sottinteso in questo sistema intrecciato S′. La sua esigenza di coerenza poi è soltanto che questo stato misto S₂ si trasformi nello stato misto S₃. Ora non è affatto chiaro che questo è un modo legittimo per semplificare il problema del viaggio nel tempo nella meccanica quantistica. Ma anche se gli abbuoniamo questa semplificazione esiste ancora un problema: come dobbiamo capire queste combinazioni (miscele)?

Se accettiamo un’interpretazione di ignoranza delle combinazioni andiamo incontro a dei problemi. Perché se supponiamo che in ciascun caso individuale ciascun sistema più vecchio è o nello stato | + ⟩ 3 o in quello       | – ⟩ 3 prima dell’interazione. Poi ritorna il nostro paradosso. Deutsch invece raccomanda quanto segue: molti mondi, un quadro di stati misti. Supponiamo che iniziamo con lo stato | + ⟩ 1 in tutti i mondi. In alcuni dei molti mondi il sistema più vecchio sarà nello stato | + ⟩ 3, chiamiamoli mondi-A, e in alcuni mondi, mondi-B, sarà nello stato | – ⟩ 3. Quindi nei mondi-A dopo l’interazione avremo lo stato | – ⟩ 2, e nei mondi-B avremo lo stato | + ⟩ 2. Durante il viaggio nel tempo lo stato | – ⟩ 2 rimarrà lo stesso, cioè si trasformerà nello stato | – ⟩ 3, ma i sistemi in questione viaggeranno dai mondi-A ai mondi-B. Similmente, gli stati   | + ⟩2 viaggeranno dai mondi-B a quelli-A, conservando in questo modo la coerenza.

Ora qualsiasi cosa si possa pensare dei pregi delle interpretazioni con molti mondi, e di questa comprensione di esse quando vengono applicate alle combinazioni, alla fine non si ottiene un autentico viaggio nel tempo nel resoconto di Deutsch. I sistemi in questione viaggiano da un tempo in un mondo a un altro tempo in un altro mondo, ma nessun sistema viaggia verso un tempo precedente nello stesso mondo. (Ciò vale almeno nel senso normale della parola ‘mondo,’ il senso che si intende quando, per esempio, si dice “c’è stato e ci sarà, soltanto un Elvis Presley in questo mondo.”) Quindi, anche se fosse un punto di vista ragionevole, non è così interessante come poteva sembrare inizialmente.

10. Conclusioni

Quello che rimane del paradosso di uccidere il proprio sé precedente nei mondi in cui è possibile il viaggio nel tempo generale relativista è il fatto che in alcuni casi gli stati sulle superficie genere spazio senza margini sono ‘sovravincolati’, di modo che si ha meno della solita libertà nella specificazione delle condizioni su un tale superficie, data la struttura del viaggio nel tempo, e in alcuni casi tali stati sono ‘sottovincolati’, di modo che gli stati su una superficie genere spazio senza margini non possono determinare quello che succede altrove nel loro solito modo di fare, data la struttura del viaggio del tempo. Ci possono anche essere combinazioni di questi due tipi di caso. Fino a che punto gli stati sono sovravincolati e/o sottovincolati nei modelli realistici è tuttora poco chiaro, sebbene sarebbe molto sorprendente se non si ottenesse nessuno dei due.  La letteratura esistente si è concentrate principalmente sul problema del sovravincolo, poiché viene o considerate un ostacolo metafisico alla possibilità del viaggio nel tempo, o come un ostacolo epistemologico alla plausibilità del viaggio nel tempo nel nostro mondo. Mentre è vero che il nostro mondo sarebbe completamente diverso da come lo consideriamo normalmente se gli stati fossero sovravincolati, il sottovincolo sembra bizzarro quanto il sovravincolo. Ciò nonostante, nessuno dei due esclude direttamente la possibilità del viaggio nel tempo.

Se il viaggio nel tempo comportasse delle contraddizioni, allora la questione sarebbe risolta. E infatti, la maggioranza delle storie nella cultura popolare che impiegano il viaggio nel tempo è incoerente dal punto di vista della logica: non si può “cambiare” il passato per renderlo diverso da quello che è stato, perché il passato (come il presente e il futuro) succede soltanto una volta. Ma se l’unico presupposto richiesto è la coerenza logica, allora sembra fin troppo facile. Un autore abile può escogitare uno scenario coerente per il viaggio nel tempo nel quale tutto succede soltanto una volta e in modo coerente. Ciò è fin troppo dozzinale: la coerenza logica è una condizione molto debole, e molte cose che consideriamo impossibili metafisicamente sono coerenti nella logica. Per esempio. Supporre che l’acqua non sia molecolare non comporta una contraddizione logica, ma se sia la chimica che Kripke hanno ragione, si tratta di un’impossibilità metafisica. Non ci siamo interessati alla possibilità logica ma alla possibilità fisica. Ma, ciò nonostante, le nostre condizioni sono state relativamente deboli: abbiamo soltanto chiesto se il viaggio nel tempo è coerente con la validità universale di certe leggi fondamentali della fisica e con la nozione che lo stato fisico su una superficie prima della regione del viaggio nel tempo sia senza vincoli. È perfettamente possibile che le leggi della fisica obbediscano a questa condizione, ma quel viaggio nel tempo, nonostante ciò, non è metafisicamente possibile a causa della natura stessa del tempo. Consideriamo un’analogia.  Aristotele credeva che l’acqua fosse omogenea e infinitamente divisibile: qualsiasi quantità di acqua poteva essere suddivisa, in teoria, in quantità inferiori di acqua. Il punto di vista di Aristotele non contiene nessuna contraddizione logica. Era certamente coerente con il concetto che aveva Aristotele dell’acqua che fosse omogenea quindi per lui era una possibilità concettuale. Ma se la chimica ha ragione, Aristotele aveva torto sia per quanto riguarda la natura dell’acqua, che per quanto è naturale per essa. Non può essere suddivisa infinitamente, anche se nessuna analisi logica o concettuale lo rivelerebbe.

Similmente, se tutte le nostre condizioni di coerenza fossero soddisfatte, non ne segue che il viaggio nel tempo sia possibile fisicamente, ma soltanto che alcune considerazioni fisiche specifiche non possono escluderlo.  L’unica prova seria della possibilità del viaggio nel tempo sarebbe una dimostrazione della sua reale esistenza. Perché se siamo d’accordo che non c’è un reale viaggio nel tempo nel nostro universo, la supposizione che ci potrebbe essere stato comporta postulare una differenza notevole dalla realtà, una differenza dissimile nel suo tipo da qualsiasi cosa che possiamo conoscere di prima mano. Non ci è chiaro esattamente come sarebbe il contenuto del possibile se si dovesse o accogliere o negare la possibilità del viaggio nel tempo in queste circostanze, a meno che non si sia meramente inteso che non si può escludere la possibilità adducendo un qualche insieme delineato di vincoli. Come dimostra l’esempio della teoria di Aristotele, la “possibilità” concettuale e logica non comporta la possibilità nel senso pieno del termine.  Cosa sarebbe esattamente un tale senso pieno nel caso del viaggio nel tempo, e se si potrebbe avere ragione nel credere di potere ottenerlo, ci rimane oscuro.

Bibliografia

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Altre risorse su Internet

• Earman, J., Smeenk, C. and Wüthrich, C., 2003, “Take a ride on a time machine”, manoscritto disponibile presso il PhilSci Archive, University of Pittsburgh.

Voci correlate

Determinismo: causale, Gödel, Kurt: contributi alla teoria della relatività, macchine del tempo, viaggi nel tempo

Ringraziamenti

Grazie a Edward N. Zalta, che ha notato che abbiamo incorrettamente sostenuto una delle conseguenze delle equazioni di Maxwell posto che E = div(ρ) piuttosto che ρ = div(E).

Note al testo

[1.] Le collisioni multiple sono gestite ovviamente da considerazioni di continuità: basta continuare le linee rette attraverso il punto di collisione e identificare quale particella è quale in base al loro ordinamento nello spazio.

[2.] La dinamica qui è radicalmente non reversibile nel tempo. In effetti, la dinamica è deterministica nella direzione futura ma non nella direzione passata.

[3.] Si potrebbe sperare che i teoremi di punto fisso possano essere usati per provare l’esistenza di soluzioni anche in questo tipo di casi. Si consideri, ad esempio, uno stato iniziale fisso di moto I della palla. Si consideri poi tutte le possibili velocità, posizioni e tempi <v,x,t> con i quali una tale palla entrerebbe la bocca 1 del wormhole. Ogni tripletta <v,x,t> determinerà la traiettoria di quella palla fuori dalla bocca 2. Si può in seguito osservare la continuazione della traiettoria dallo stato I e quella dallo stato s, e vedere se queste traiettorie collidono. Si può dunque vedere per ogni possibile tripletta <v,x,t> se la palla che comincia nello stato I colliderà nella bocca 1 e se lo farà, con quale velocità in quale posizione e in quale tempo questo accadrà. Così dato lo stato I, ogni tripletta <v,x,t> corrisponde ad un’altra tripletta <v’,x’,t’>. Si potrebbe anche suggerire di ricorrere ad un teorema di punto fisso per sostenere che deve esserci una soluzione per ogni stato iniziale I. Tuttavia, in primo luogo gli insiemi delle velocità e dei tempi sono insiemi aperti. E in secondo luogo possono esserci molteplici attraversamenti di wormhole. Pertanto il totale spazio di stato rilevante degli attraversamenti di bocche di wormhole consiste di discretamente molteplici spazi di stato completamente disconnessi (con un numero di dimensioni in aumento). Così i teoremi di punto fisso non si applicano direttamente. Va notato che i risultati che sono stati ottenuti in questo caso fanno ampio uso dei teoremi di punto fisso. Ma la loro applicazione è limitata ad alcuni sotto-problemi, e non offrono una prova completamente generale per la mancanza di vincoli dell’arbitrario stato I.

[4.] Questo argomento, specialmente la seconda versione, è simile a quello in Horwich 1987, p 124-128. Tuttavia, non condividiamo l’opinione di Horwich secondo cui va contro il viaggio nel tempo di esseri umani nel loro passato locale.